Observables cuánticos
En la clase pasada (15 febrero) se introdujo:
$\bullet$ La definición del observable cuántico: "Operador hermítico cuyos autoestados son una base completa del espacio de estados $\mathcal{E}$" a los cuales los autovalores corresponientes a los autoestados se le asignan cantidades físicas llamados números cuánticos. Es decir;
$$A |u_{i}\rangle = \lambda_{i} |u_{i}\rangle$$
$A$ es el operador, $ |u_{i}\rangle$ es el autoestado y $\lambda_{i}$ es el autovalor asociado a una cantidad física.
Si todos los autovalores de un operador son diferentes entre sí, se dice que es $\textbf{No degenerado}$ y si por el contrario existe un autovalor asociado a más de un autoestado se dice que es $\textbf{Degenerado}$.
$\bullet$ Autoestados con igual autovalor asociados a ellos forman una base para auto-subespacios de $\mathcal{E}$ asociado a ese autovalor. Es decir, si
$$A|u^{1}_{1} \rangle = \sigma_{1} |u^{1}_{1} \rangle $$
$$A|u^{2}_{1} \rangle = \sigma_{1} |u^{2}_{1} \rangle $$
Entonces, $\{|u^{1}_{1} \rangle,|u^{2}_{1} \rangle\}$ forman una base para $\mathcal{E_{1}} \subset \mathcal{E}$, $\mathcal{E_{1}}:$ auto-subespacio de $\mathcal{E}$ asociado a $\sigma_{1}$
$\bullet$ Si $A$ y $B$ conmutan (o compatibles), es decir $[A,B] = AB - BA= 0$ entonces se tiene que:
$$A|u \rangle = \lambda |u\rangle$$
$$B|u\rangle = |w\rangle$$
$$\Rightarrow \quad A|w\rangle = AB|u\rangle = BA|u\rangle = B\lambda |u\rangle = \lambda B|u\rangle = \lambda |w\rangle$$
Es decir, $|u\rangle,B|u\rangle $ son autoestados de $A$ asociados a un mismo autovalor. Importante resultado que nos dice:
i) El operador $A$ diferencia entre los auto-subespacios asociados a distintos autovalores
ii) $B$ diferencia los elementos de cada auto-subespacio asociado a un autovalor
Con esto dado, se prosigue con el tema en la clase del 17 de febrero:
Observables $\longrightarrow$ Son hermíticos y sus autoestados son base completa.
$$[A,B] = 0 \longrightarrow \text{conmutan (compatibles)} $$
Matemáticamente:
$$A|u^{i}_{n}\rangle = a_{n} |u^{i}_{n}\rangle \quad \quad i=1,2,...,g_{n}$$
$$B|u^{i}_{n}\rangle = b |u^{i}_{n}\rangle $$
Los auto-subespacios tienen una invarianza bajo el operador $B$ (no cambia el autovalor respecto al operador $A$) pues $B|u^{i}_{n}\rangle $ es autoestado de $A$ con autovalor $a_{n}$
Fig 1. Comportamiento de los operadores $A$ y $B$ visualmente.
Cada Auto-subespacio $\mathcal{E_{n}}$ $\rightarrow $ tiene como base los autoestados $\{|u^{i}_{n}\rangle\}$ asociados al autovalor $a_{n}$, cada auto-subespacio tiene su dimensión dado por el número de autoestados con igual autovalor y otrtogonales entre sí. Es decir;
Para el auto-subespacio $\quad \mathcal{E_{n}} \longrightarrow dim(\mathcal{E_{n}}) = g_{n}$.
$\bullet$ En general se tiene que los autoestados de $A$ no son autoestados de $B$. Vectorialmente:
$$ R(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda_{1}^{1}\\ . \\ \lambda_{1}^{g_{1}} \\ -- \\ \lambda_{2}^{1} \\ . \\ \lambda_{2}^{g_{2}}\\ -- \\ \lambda_{3}^{1} \\ . \\ \lambda_{3}^{g_{3}} \end{pmatrix}$$
Un vector de autoestados que forman auto-subespacios, $A$ opera con $R(\lambda)$ de la siguiente manera:
AR($\lambda$) = \begin{pmatrix} a_{1} \lambda_{1}^{1}\\ . \\ a_{1} \lambda_{1}^{g_{1}} \\ -- \\ a_{2} \lambda_{2}^{1} \\ . \\ a_{2} \lambda_{2}^{g_{2}}\\ -- \\ a_{3} \lambda_{3}^{1} \\ . \\ a_{3} \lambda_{3}^{g_{3}} \end{pmatrix}
Es decir que $A$ clasifica los auto-subespacios correspondientes a cada autovalor, pero no sabe diferenciar nada dentro del auto-subespacio. Mantiene la estructura pero reescala cada componente con su autovalor correspondiente.
Mientras que si $B$ opera con $R(\lambda)$ se tiene que:
BR($\lambda$) = \begin{pmatrix} B\lambda_{1}^{1}\\ . \\ B \lambda_{1}^{g_{1}} \\ -- \\ B \lambda_{2}^{1} \\ . \\ B \lambda_{2}^{g_{2}}\\ -- \\ B \lambda_{3}^{1} \\ . \\ B \lambda_{3}^{g_{3}} \end{pmatrix}
Entonces, $B$ combina o altera entre los autoestados de cada auto-subespacio y no puede 'saltar' de un autosubespacio a otro (esto lo hace $A$), pues $B$ operando con un autoestado de $A$ del espacio $\mathcal{E_{n }}$ tiene el mismo autovalor de $A$ en ese espacio y por tanto $B$ no pasa a otro autosubespacio con diferente autovalor. Por lo tanto, para que $B$ haga esto, matricialmente debe de tener la siguiente forma:
Fig 2. Forma matricial del operador $B$
Es decir que $B$ tiene que ser diagonal por bloques para no alterar los auto-subespacios. En la figura anterior, se representó para el caso de tres autovalores distintos de $A$.
Y debido que $A$ opera como: $A|u^{i}_{n}\rangle = a_{n} |u^{i}_{n}\rangle \quad \quad i=1,2,...,g_{n}$
Entonces tiene forma matricial de la siguiente manera:
Fig 3. Forma matricial del operador $A$
Es decir que $A$ tiene que ser una matriz diagonal, donde sus componentes corresponden a los autovalores con su correpondiente número de degeneración.
Luego de ver las formas matriciales de los operadores, se hace la pregunta de qué pasaría si se diagonaliza los bloques de la matriz $B$?
Si todos los bloques de la matriz de $B$ quedan diagonales, es decir que $B$ fuera también diagonal se tiene que para :
$$| u_{n}^{i} \rangle \rightarrow B| u_{n}^{i} \rangle = b_{n}^{i} | u_{n}^{i} \rangle $$
Entonces los autoestados de $A$ pasan a ser también autoestados de $B$ y con esto $B$ diferencia cada autoestado de cada autosubespacio de $A$ con un autovalor extra asociado con $B$.
Por ejemplo para los autoestados del auto-subespacio $\mathcal{E_{1}}$ con degeneración 3 se tiene lo siguiente:
$$A|u^{1}_{1} \rangle = \sigma_{1} |u^{1}_{1} \rangle$$
$$A|u^{2}_{1} \rangle = \sigma_{1} |u^{2}_{1} \rangle$$
$$A|u^{3}_{1} \rangle = \sigma_{1} |u^{3}_{1} \rangle$$
Y operando $B$ con su forma matricial diagonalizada;
$$B|u^{1}_{1} \rangle = b_{1}^{1}|u^{1}_{1} \rangle$$
$$B|u^{2}_{1} \rangle = b_{2}^{1}|u^{2}_{1} \rangle$$
$$B|u^{3}_{1} \rangle = b_{3}^{1}|u^{3}_{1} \rangle$$
Por tanto cada autoestado $|u^{n}_{1} \rangle$ del autosubespacio $\mathcal{E_{1}}$ queda clasificada o individualizada con dos autovalores de la siguiente manera:
$$|u^{1}_{1} \rangle \rightarrow | \sigma_{1}, b_{1}^{1} \rangle$$
$$|u^{2}_{1} \rangle \rightarrow | \sigma_{1}, b_{2}^{1} \rangle$$
$$|u^{3}_{1} \rangle \rightarrow | \sigma_{1}, b_{3}^{1} \rangle$$
En conclusión $B$ ayuda a diferenciar con un precio a pagar de tener 2 autovalores para cada autoestado.
Se expuso el siguiente ejemplo:
$\bullet$ Supongamos un sistema cuántico con 3 estados base para $\mathcal{E}$ y el siguiente operador $A$ dado por:
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i \\ 0 & -i & 0 \end{pmatrix} = A^{\dagger}$$
Donde $A$ es un operador hermítico.
Primero se pasa a hallar los autovalores de $A$, para esto se halla la solución a la siguiente ecuación:
$$det(A - \lambda \mathbb{I}) = 0 \Leftrightarrow (1-\lambda)(\lambda^2 - 1)=0 $$
Es decir; $\lambda_{2} = 1 \rightarrow$ doblemente degenerado y $\lambda_{1} = -1$
Luego, se hallan los autovectores asociados a cada autovalor.
Para $\lambda_{2} = 1$ correspondes los siguientes dos autoestados.
$$A|u_{2} \rangle = \lambda_{2} |u_{2} \rangle = |u_{2} \rangle $$
$$A|u_{3} \rangle = \lambda_{2} |u_{3} \rangle = |u_{2} \rangle $$
Con
$|u_{2} \rangle$ = \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ 1 \end{pmatrix}
$|u_{3} \rangle $= \begin{pmatrix} 1 \\ -i \\ -1 \end{pmatrix}
y para $\lambda_{1} = -1$ se tiene el autoestado $|u_{1} \rangle$ = \begin{pmatrix} 0 \\ -i \\ 1 \end{pmatrix} tal que
$$A|u_{1} \rangle = \lambda_{1} |u_{1} \rangle = -|u_{1} \rangle $$
Ahora sea $B$ otro operador que conmuta con $A$ dado por:
$$ B = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/4 & 0 \\ 0 & 0 & 1/4 \end{pmatrix} = B^{\dagger}$$
Se tiene que del conjunto de autoestados de $A$ $(|u_{1} \rangle,|u_{2} \rangle,|u_{3} \rangle)$ el único que es autoestado también de $B$ es $|u_{1} \rangle$ (asociado al $\lambda_{1}$ el no-degenerado) con autovalor $1/4$.
Pero para las siguientes combinaciones lineales entre los autoestados $|u_{2} \rangle,|u_{3} \rangle$ se tiene que son autoestados tanto para $A$ como para $B$:
$$ |u_{2} ' \rangle = \frac{u_{2} + u_{3}}{2} \rightarrow \text{autovector de B con autovalor 1/2 y de A con autovalor 1}$$
$$ |u_{3} ' \rangle = \frac{u_{2} - u_{3}}{2} \rightarrow \text{autovector de B con autovalor 1/4 y de A con autovalor 1}$$
Por tanto los nuevos autoestados dados por $ { |u_{1} \rangle,|u_{2} ' \rangle, |u_{3} ' \rangle} $ están individualizados por dos autovalores para cada uno, de la siguiente manera:
$$ |u_{1} \rangle \rightarrow | -1,1/4 \rangle $$
$$ |u_{2}' \rangle \rightarrow | 1,1/2 \rangle $$
$$ |u_{3}' \rangle \rightarrow | 1,1/4 \rangle $$
Así se introdujo un nuevo observable para que no haya degeneración.
Editado por: Alan Stiven Camacho Restrepo
