Ejercicio clase #14: Espacio de estados y espacios duales. 2021-2

 Sea $B = {\{e_{i}\}}_{i=1,...,n}$  base del espacio vectorial $V$ de dimensión $n$ en un campo $K$.

Entonces un vector $v$ tal que $v \in V$ se puede escribir como: $$v = \sum_{i=1}^{n}{v^{i}e_{i}} \:\:\:\ ; \:\:\:\ v^{i} \in K$$

Sea $B^{\ast} = {\{e^{\ast j}\}}_{j=1,...,n}$ conjunto de $n$ elementos que cumplen las siguientes propiedades:

$$e^{\ast i}(e_{j}) = \delta_{ij} \:\:\:\ ; \:\:\:\ e^{\ast i}(v) = v^{i} \in K$$

Mostrar:

i) Los elementos de $B^{\ast}$ son linealmente independientes y por lo tanto, una base para el espacio dual $V^{\ast}$ (teniendo en cuenta que $dimV = dimV^{\ast}$) 

ii) Un vector $f^{\ast}$ tal que $f^{\ast} \in V^{\ast}$ entonces $f^{\ast}$ se puede escribir de la siguiente manera:

$$f^{\ast} = \sum_{i=1}^{n} f_{i}^{\ast} e^{\ast i}$$

Donde $ f_{i}^{\ast} =  f^{\ast}(e_{i})$