Red cristalina cuántica
Dado lo teórico del tema discutido en la clase, se procede a resaltar un resultado teórico que, de ser observado, podría tener aplicaciones en el campo de la física de la materia condensada, estas son las redes cristalinas cuánticas, las cuales tendrían propiedades ópticas diferentes (en algunos casos incluso opuestas [1]) a las de las redes cristalinas clásicas.
La principal característica de estas redes es que su potencial es de la forma $V(x) = i \sin{x}$, lo cual, sin entrar mucho en detalle dado la inexperiencia en el tema, resulta en un Hamiltoniano no hermítico, y esto como se verá más adelante entra en conflicto con los postulados de la mecánica cuántica.
Figura 1. Discriminante de los potenciales hermítico (arriba) y no hermítico (abajo)
de los cristales. [1]
La posible existencia de estos cristales es de relevancia respecto a la clase, dado que mediante la realización de un cambio de base en el Hamiltoniano no hermítico, es posible encontrar valores propios reales [2], con este resultado no se encuentra conflicto con los postulados y se abre la posibilidad de la existencia de las redes cristalinas cuánticas.
El procedimiento es similar a como se mostrará con un Hamiltoniano no hermítico un poco diferente ("Dirac Hamiltonian")
$H = \vec \alpha \cdot \vec p+ \beta(m - i A_2 /r) - i A_1 / r$
Usando la relación de similaridad, de forma idéntica a como se estudio en clase se obtiene una ecuación de Schrödinger tal que.
$H' \Psi' = E \Psi'$ $H' = S H S^\dagger$
Siendo $S$ y $S^\dagger$
$S = a + ib\beta \vec \alpha \cdot \hat r$ $S^\dagger = \frac{a - ib\beta \vec \alpha \cdot \hat r}{a^2 - b^2}$
Realizando esta transformación se obtienen soluciones que apoyan la hipótesis inicial, de esta forma se observa cómo es útil incluso en las aplicaciones físicas actuales el uso correcto del cambio de base.
Referencias
[1] Bender, C. M. (2007). Making sense of non-Hermitian Hamiltonians. Reports on Progress in Physics, 70(6), 947–1018. doi:10.1088/0034-4885/70/6/r03
[2] Mustafa, O. (2003). Dirac and Klein Gordon particles in complex Coulombic fields: a similarity transformation. Journal of Physics A: Mathematical and General, 36(18), 5067–5072. doi:10.1088/0305-4470/36/18/311
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