Aplicación Clase #5: Distribución de Maxwell-Boltzman & Teoría de Plank

El Fondo Cósmico de Microondas

El fondo cósmico de microondas (CMB) es una forma de radiación electromagnética descubierta en 1965 que llena el universo por completo. Es clave en el modelo del Big Bang caliente, y es la observación más importante que distingue entre el Big Bang y los otros modelos estables del Universo. 

El espectro del CMB es el de un cuerpo negro descrito por la Ley de Planck, con una temperatura máxima cercana a $2.725K$, de acuerdo a la ley de Wien. 

Un cuerpo negro es un objeto opaco, isotérmico y no reflectivo. Incluso aunque la temperatura del universo cambia mientras este evoluciona ($T_{CMB} = T_0(1+z)$ ), el universo parece isotérmico porque el enrojecimiento ($z$) de la radiación hace que el universo distante, aunque esté mas caliente parezca tener exactamente la misma temperatura del universo el día de hoy. 

El modelo original del Big Bang predecía pequeñas anisotropías en la temperatura del CMB que pudieron finalmente ser detectadas por el satélite COBE  (Cosmic Background Explorer) entre 1986 y 1996 y fue estudiado a mayor profundidad por WMAP (Wilkinson Anisotropy Probe)  con lo que se ha podido restringir algunas de las constantes cosmológicas fundamentales, desvelando la composición del universo en un 4% de materia bariónica, un 22% de materia oscura y un 74% de energía oscura. Estas sobre densidades también arrojan indicios sobre la formación de las primeras estructuras a gran escala y la distribución actual de galaxias. 

Aplicación de Clase#10 (ecuación de schrodinger)

 - Una aplicacón de la ecuación de schrodinger es el occilador ármonico cuántico, consideremos una "párticula" ( representada por la función de onda $ \psi (x) $ ) sometida a un potencial de la forma $U(x) = \frac{1}{2}k x^{2}$, la ecuación de schrodinger correspondiente es:

$ \frac{-\hbar^{2}}{2m}D_{x}^{2} \psi (x) + \frac{1}{2}k x^{2} \psi (x) = E \psi (x) $ 

o equivalentemente:

$ D_{x}^{2} \psi (x) - \frac{2m}{\hbar^{2}}(\frac{k}{2}x^{2}-E )\psi (x) = 0 $

proponemos una solución del tipo: $ \psi (x)\sim Ae^{-ax^{2}} $

$ \ddot{\psi}(x)=-2Aa(-2ax^{2}e^{-ax^{2}}+e^{-ax^{2}}) $

remplazando en la ecuación diferencial de schrodinger:

 $ -2Aa(-2ax^{2}e^{-ax^{2}}+e^{-ax^{2}})- \frac{2m}{\hbar^{2}}(\frac{k}{2}x^{2}-E )A e^{-ax^{2}}=0 $ 

reagrupando:

$x^{2}(4a^{2}-\frac{mk}{\hbar^{2}}) + (-2a+\frac{2mE}{\hbar^{2}}) = 0$ 

para que esta igualdad sea válida para todo x entonces debe cumplirse que:

$(4a^{2}-\frac{mk}{\hbar^{2}})=0  $ y  $(-2a+\frac{2mE}{\hbar^{2}}) = 0$

de estas 2 ecuaciones obtenemos:

$ a = (\frac{mk}{4\hbar^{2}})^{1/2}=\frac{\sqrt{mk}}{2\hbar}$

$E=\frac{a\hbar^{2}}{m} =\frac{\frac{\sqrt{mk}}{2\hbar}\hbar^{2}}{m} = \frac{\hbar}{2}\sqrt{\frac{k}{m}}$

este resultado es solo válido para el estado fundamental!.

La solución completa se puede obtener mediante una solución por series de potencias de la funcion de onda , sin embargo puede usarse el método de los operadores ecaleras para obtener los autovalores de las energias permitidas sin resolver la ecuación diferencial directamente , donde se llega a que:

$ E_{n}=(n+\frac{1}{2})\hbar \sqrt{\frac{k}{m}}$