Clase 15: Propiedades de los autovalores y autovectores de un operador Hermitiano.

Tomemos unos operadores A que operan sobre el espacio de estados $\varepsilon$, esto definen unas bases. Es decir, necesitamos una combinación de operadores que nos definan bases, los cuales a su vez nos sirven para estudiar $\varepsilon$.

    $A|\psi \rangle$ = $\lambda|\varphi\rangle$

donde $\lambda \in C$ y $|\psi\rangle\in\varepsilon$. Si tomamos adicionalmente que: $\langle\psi|\psi\rangle = 1$, es decir, es un autoestado normalizado.

Si $\lambda\longrightarrow|\psi\rangle$ es único (un solo autoestado), decimos que este estado es no degenerado. El subespacio vectorial $\varepsilon_{\lambda}\rightarrow$  $\big\{|\psi⟩\big\}$ es de dimensión 1. 

Si $\lambda\longrightarrow\varepsilon_{\lambda}$ puede tener dimensión mayor que 1.

EJEMPLO 1: Consideremos el siguiente operador T:

$T = \begin{bmatrix}2 & 0 & 0\\0 & 3 &1 \\0 & 2 & 8 \end{bmatrix}  \longrightarrow $ la degeneración es 1.

$(3-\lambda)(8-\lambda) - 2 = 0$. Tenemos $2\lambda$ diferentes, por tanto el operador que tiene 3 autovalores y cada autovalor da un autovector distinto. No degeneración. 

EJEMPLO 2: Consideremos el siguiente operador T:

$T = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 0 &1 \\0 &1 & 0 \end{bmatrix}$ 

En este caso tenemos $\lambda_{1} = 1$ , $\lambda_{2} = 1$ y $\lambda_{3} = -1$. Tenemos dos autovalores, es decir, degeneración 2. 

En general debemos tener en cuenta la degeneración. Si $|\psi_{i} \rangle$ con i = 1,....,g es decir, hay g autovectores asociados con un autovalor $\lambda$, si $A|\psi_{i} \rangle$ = $\lambda | \psi_{i} \rangle$ igualmente cualquier combinacion de esos elementos  $\Sigma C_{i}|\psi_{i} \rangle$ = $|\psi^{'}\rangle$ es también autovector de A.

$A\sum_{i=1}^{g} C_{i}|\psi_{i}\rangle = \sum_{i=1}^{g} C_{i}A |\psi_{i}\rangle = \Sigma C_{i}\lambda|\psi_{i}\rangle $

$A| \psi^{'} \rangle = \lambda |\psi^{'}\rangle$

A no sirve para identificar si tenemos nada dentro del espacio asociado con ese autovalor. Un subespacio $\varepsilon_{\lambda}$ tiene dimensión g. A este subespacio se le conoce como "autosubespacio" asociado con $\lambda$.

Por otro lado, consideremos que el operador A es Hermitico:

$A^{†} = A$
acá se pueden presentar 2 casos:

1. Los autovectores de un operador hermitico son reales:

Tomando el producto escalar de la ecuación de autovalores $A|\psi \rangle=\lambda|\psi\rangle$ para    $|\psi\rangle$, obtenemos:

    $\langle\psi|A|\psi\rangle = \lambda\langle\psi|\psi\rangle $ 

Pero $\langle\psi|A|\psi\rangle$ es un número real si A es hermitico, es decir, tomando el complejo conjugado (hermitico conjugado):

    $\langle\psi|A|\psi\rangle^{*}$ = $\langle\psi|A^{†}|\psi\rangle$ = $\langle\psi|A|\psi\rangle$ = $\lambda\langle\psi|\psi\rangle$

Dado que $\langle\psi|A|\psi\rangle$ y $\langle\psi|\psi\rangle$ son reales, esto implica que $\lambda$ también es real.

Si A es hermitico, podemos reemplazar A por $A^{†}$ y $\lambda$ por $\lambda ^{*}$, ya que acabamos de demostrar que $\lambda$ es real. Así obtenemos:

    $\langle\psi|A$ = $\lambda\langle\psi|$

Por lo tanto, 

    $\langle\psi|A|\varphi\rangle$ = $\lambda\langle\psi|\varphi\rangle$

2. Dos vectores propios de un operador hermitico correspondientes a dos valores propios diferentes son ortogonales:

Consideremos dos autovectores $\psi\rangle$ y $\varphi\rangle$ del operador hermitico A:

    $A|\psi\rangle$ = $\lambda|\psi\rangle$

    $A|\varphi\rangle$ = $\mu|\varphi\rangle$

donde $\langle\varphi|\varphi\rangle = 0$ y $\mu\neq 0$, es decir, son ortogonales.

Si no hay degeneración en A tenemos:

    $A|\varphi_{i}\rangle = \lambda_{i}|\varphi_{i}\rangle$

por tanto  $\big\{|\varphi_{i}⟩\big\}$ es base de $\varepsilon$, por tanto es ortonormal.

Cuando hay degeneracion debemos utilizar otros operadores, para esto supongamos dos operadores A y B conmutan, y si $|\psi\rangle$ es un vector propio de A y $B|\psi\rangle$ es también un vector propio de A, con el mismo valor propio.

Sabemos que, si $|\psi\rangle$ es un vector propio de A, tenemos:

    $A|\psi\rangle = a|\psi\rangle$

Multiplicando por B a ambos lados de esta ecuación, obtenemos:

    $BA|\psi\rangle = aB|\psi$

Dado que asumimos que A y B se conmutan, también tenemos que, reemplazando BA en el lado izquierdo por AB:

    $A(B|\psi\rangle = a(B|\psi)$

Esta última ecuación expresa el hecho de que $B|\psi\rangle$ es un vector propio de A, con el valor propio a, se demuestra el teorema.

Por otro lado, si a es un vector propio no degenerado, todos los vectores propios asociados con él son por definición colineales y $B|\psi\rangle$ es necesariamente proporcional a $|\psi\rangle$. Por lo tanto, también es un vector propio de B.

Por tanto, B no afecta la separación de $\varepsilon$ original, es decir, no cambia los autovectores de A.

Clase 14: Representaciones de estados, operadores y cambio de base

 Representación en el espacio de estados:

Antes de adentrarnos de lleno en el terreno de estados y operadores cuánticos se muestra un ejemplo intuitivo de la representación de un vector en diferentes bases, para esto tomamos el ejemplo de una rotación de ejes en $\mathbb{R}^3$ como se muestra en la figura 1 :

Figura 1: rotación de ejes coordenadas en $\mathbb{R}^3$

Si definimos un conjunto de vectores base $\{i,j,k\}$ siempre podemos realizar una rotación a un sistema con ejes $\{i´ ,j´,k´ \}$. Al realizar esto un vector cualesquiera $\overrightarrow{r}=(x,y,z)$ puede ser descrito en la nueva base como $\overrightarrow{r'}=(x´,y´,z´)$ mediante una transformación lineal representada por una matriz $A$, así mismo los operadores $T$ en la base original cambian de representación a $T´$ , es decir: $\overrightarrow{R} =T \overrightarrow{r} \rightarrow \overrightarrow{R´}=T' \overrightarrow{r´}$.

Ahora, realizando definiciones más formales, sea $\mathcal{E}$ el espacio de estados, para estudiarlo debemos de definir bases que permitan poseer una representación de los elementos pertenecientes a  $\mathcal{E}$. Sea $| \psi \rangle $ un elemento del espacio de estados, sea la base discreta completa $ \{    | u_i \rangle  \} $ ortonormal, i.e $ \langle u_i | u_j \rangle =\delta_{ij}$, se la base continua completa a $ \{    | v_{\alpha} \rangle  \} $ ortonormal, i.e $ \langle v_{\alpha} | v_{\alpha´} \rangle =\delta(\alpha-\alpha')$.

Cualquier vector $| \psi \rangle $ puede ser expandido por estas bases debido a la condición de cerradura, por tanto en la base discreta  $| \psi \rangle=\displaystyle\sum_{i} c_i   | u_i \rangle$ o en la base continua $| \psi \rangle= \int_{V} d \alpha \, c(\alpha) |u_{\alpha} \rangle $. 

$c_i$ puede escribirse como $c_i= \langle u_i | \psi \rangle$ i.e las proyecciones de $| \psi \rangle$ sobre los elemento de la base $| u_i \rangle$, para la base continua se tiene $ \langle v_{\alpha'} | \psi \rangle=c(\alpha´)$.

de esta manera  $| \psi \rangle= \displaystyle\sum_{i}  \langle u_i | \psi \rangle  | u_i \rangle =   \displaystyle\sum_{i}  |u_i \rangle  \langle u_i |   \psi \rangle =  (\displaystyle\sum_{i}  |u_i \rangle  \langle u_i | )  \psi   $

por tanto se obtiene la relación: 

$$\displaystyle\sum_{i} |u_i \rangle  \langle u_i |=\mathbb{1}$$ la cual es la condición de cerradura, i.e la base es completa, así esta expande todo el espacio de estados (todos son expresables). 

Para la base continua el procedimiento es análogo y se encuentra: $$| \psi \rangle= \int_{V} d \alpha \,  | v_{\alpha´} \rangle \langle v_{\alpha}|  =1 $$.

Matricialmente, si escogemos una base conveniente podemos asociar un vector columna con los coeficientes $c_i$ i.e los coefientes que permiten expresar los estados de $| \psi \rangle$ en dicha representación como se muestra: 

 $$ \begin{pmatrix}c_{0} \\ \vdots \\  c_i   \\  \vdots  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} \langle u_0 | \psi \rangle \\ \vdots \\   \langle u_i | \psi \rangle   \\  \vdots  \end{pmatrix}  \qquad , \qquad   \begin{pmatrix} \vdots \\  c(\alpha)   \\  \vdots  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} \vdots \\   \langle v_{\alpha} | \psi \rangle   \\  \vdots  \end{pmatrix}  $$

a la izquierda es la representación matricial para bases discretas, a la derecha es la representación matricial para bases continuas, $\alpha$ puede ser un número o varios; recordemos el ejemplo de la base en el espacio de momentos en la cual $v_{\overrightarrow{p}}$ eran los componentes de la base continua en el espacio de Fourier (de momentos) con $\overrightarrow{p}=(p_x,p_y,p_z)$.

Si los kets se pueden representar como vectores columna, entonces los bras deben de poseer una representación vectorial similar: sea $\langle \psi | $=  $\langle \psi |  1 = \displaystyle\sum_{i}\langle \psi |u_i \rangle  \langle u_i |$ pero  $c_i= \langle u_i | \psi \rangle \Rightarrow c_i^{*}= \langle \psi | u_i \rangle$ por tanto: $$\langle \psi |= c_i^{*}  \langle u_i|  $$

Ahora calculando $ \langle \phi | \psi \rangle $ en una base específica es conveniente introducir el operador identidad 1, así:  $$ \langle \phi | \psi \rangle=  \langle \phi | 1 |\psi \rangle = \displaystyle\sum_{i}  \langle \phi | u_i \rangle   \langle u_i | \psi \rangle= \displaystyle\sum_{i} b_i^* c_i \in  \mathbb{C} $$. Para una base continua el procedimiento es análogo  $$ \langle \phi | \psi \rangle=  \langle \phi | 1 |\psi \rangle =  \int_{V} d \alpha \,  \langle \phi | v_{\alpha} \rangle   \langle v_{\alpha} | \psi \rangle=  \int_{V} d \alpha \,b(\alpha)^{*} c(\alpha) \in  \mathbb{C}  $$. 

Matricialmente podemos interpretar entonces los kets como vectores columna y los bra como vectores fila aplicando complejo conjugado de tal manera que el producto interno  $ \langle \phi | \psi \rangle $ es simplemente el producto de un vector fila por un vector columna.

Representación de operadores

Consideremos un operador $A$ en un espacio abstracto $\mathcal{E}$. 

Los elementos matriciales del operador $A$ pueden ser obtenidos en una base discreta como:   $$A= \langle u_i | A | u_j \rangle$$ para efectos prácticos se puede considerar $A$ como una matriz cuadrada. 

Para una base continua: $$A(\alpha,{\alpha}´)=\langle v_{\alpha} | A | v_{\alpha}'  \rangle$$ la cual puede ser considerada como una función en dos variables.

Ahora, encontrando la representación matricial de $| \psi' \rangle=A | \psi \rangle $.

• Si expandimos $ |\psi \rangle$ ,  $| \psi \rangle=\displaystyle\sum_{i} c_i   | u_i \rangle$ luego  $| \psi' \rangle=A | \psi \rangle=A  \displaystyle\sum_{i} c_i   | u_i \rangle=  \displaystyle\sum_{i} c_i A  | u_i \rangle$ (debido a la linealidad), por otro lado $| \psi' \rangle=\displaystyle\sum_{i} {c_i}'   | u_i \rangle$, comparando estas expresiones se llega a: $$ c_i' = \displaystyle\sum_{j} A_{ij} c_j$$ es decir, podemos representarlas como productos matriciales:

          Para las bases continuas: $$c'(\alpha)= \int_{V} d \alpha' \, A(\alpha,\alpha') c(\alpha') $$

• Calculando $ \langle \phi | A |\psi \rangle \in \mathbb{C}$, $$ \langle \phi | A |\psi \rangle=\langle \phi | 1 \, A \, 1 |\psi \rangle=\displaystyle\sum_{i,j} \langle \phi | u_i \rangle  \langle u_i|A | u_j \rangle  \langle u_j | \psi \rangle = \displaystyle\sum_{i,j} b_i^* A_{ij} c_j$$ la cual se puede representar por el producto de un vector fila ($b_i^*$), una matriz $(A_{ij})$ y un vector columna ($c_j$).

• Forma matricial de adjunto de un operador:   

         $(A^{\dagger})_{ij}= \langle u_i | A^{\dagger} | u_j \rangle =  \langle u_j | A | u_i \rangle ^*=(A_{ji})^*$

          i.e matricialmente $A^{\dagger}$ representa el transpuesto complejo conjugado. 

         Si el operador es hermítico: 

         para una base discreta $A_{ij}=A_{ji}^*$        

         Para una base continua $A(\alpha,\alpha')=A(\alpha´,\alpha)^*$

Cambio de representación (matrices de cambio de base):

Se dos bases discretas $ |u_i \rangle$ , $ |z_j \rangle$ tal que: $| \psi \rangle=\displaystyle\sum_{i} c_i   | u_i \rangle$,  $| \psi \rangle=\displaystyle\sum_{j} d_j   | z_j \rangle$.

Para responder la pregunta de como se relacionan la dos bases podemos expandir $ |u_i \rangle$ en términos de $ |z_j \rangle$, así $| u_i \rangle=\displaystyle\sum_{j} S_{ij}   | z_j \rangle$, ahora si 'conectamos' $\langle z_l| $  a la expresión anterior obtenemos  $\langle z_l| u_i \rangle=\displaystyle\sum_{j} \langle z_l| S_{ij}   | z_j \rangle=\displaystyle\sum_{j}S_{ij} \delta_{lj}=S_{li}$ ya que  $\langle z_i |z_k \rangle=\delta_{ik}$. Por tanto: $$\langle z_l| u_i \rangle=S_{li} $$

A la representación matricial de $S_{ij}$ la llamamos matriz de cambio de base o matriz de cambio de representación.

Para los bra se puede demostrar que: $$\langle u_i| z_l \rangle= \langle z_l| u_i \rangle^*=S_{li}^*=(S_{il})^{\dagger} $$.

Por otro lado $ |u_i \rangle= \displaystyle\sum_{j}S_{ij}  \displaystyle\sum_{k} |u_k \rangle  \langle u_k | z_j \rangle = \displaystyle\sum_{j} S_{ij} \langle u_k | z_j \rangle  |u_k \rangle $, pero $ \langle u_k | z_j \rangle=S^{\dagger}$ por tanto para que se cumpla la igualdad : $$ S S^{\dagger}=S^{\dagger} S=I, \qquad \text{matriz unitaria} \\ S^{\dagger}=S^{-1} \Rightarrow \text{det}(S^{\dagger} S)=1 \Rightarrow  \text{det (S)}=\pm 1 $$.

La matriz S también puede ser usada para realizar cambios de base en operadores:

$A_{ij}= \langle u_i |\, 1\,  A \, 1 \, |u_j \rangle=\displaystyle\sum_{k,l} \langle u_i | z_k \rangle  \langle z_k|A | z_l \rangle  \langle z_l | u_j \rangle $ pero

$S_{ik}^{\dagger}= \langle u_i | z_k \rangle$, $A_{kl}= \langle z_k|A | z_l \rangle$, $S_{lj}= \langle z_l | u_j \rangle$ así: $$ A_{ij}=\displaystyle\sum_{k,l} S_{ik}^{\dagger} A_{kl} S_{lj}$$

Si relacionamos este resultado con los operadores ortogonales en $\mathbb{R}^3$ observamos que esa operación no es más que una diagonalización de A, así: $$A \rightarrow A' =S^{\dagger}  A  \, S$$

Utilidades del cambio de base

Implementar un cambio de base permite llevar operaciones a espacios en los cuales es más sencillo realizarlas, tomemos por ejemplo el caso de encontrar los ejes principales de una forma cuadrática como se muestra en la figura 2. 

Figura 2: rotación de ejes en  $\mathbb{R}^2$

Al realizar una diagonalización de la forma funcional de la elipse presentada en la figura 2 podemos encontrar los ejes principales de esta, es decir, los ejes respecto a  los cuales la elipse no está rotada (no presenta términos cruzados). 

en $xy \rightarrow ax^2+bxy+cy^2=k \qquad \text{en  } x´y´ \rightarrow a'x'^2+c'y'^2=k´ $

con esto en mente podemos introducir los autovalores de un operador.

Autovalores y observables:

Definimos los autovalores $ \lambda_i$ asociados a un operador $A$ que cumplen: 

$$ A  | u_i \rangle = \lambda_i   | u_i \rangle, \, \lambda_i \in  \mathbb{C} \text{    ecuación de autovalores de  } A $$

Nos interesa estudiar operadores $A$ relevantes para cantidades físicas, es decir, que actúen sobre un espacio  $\mathcal{E}$ con significado físico un ejemplo de ello es el espacio de estados.  

Para encontrar los autovalores se recurre a la ecuación propuesta en el álgebra lineal:

$$ \text{Det} (A-\lambda I)=0 \, \, \text{Ecuación característica de } A  $$

Referencias: 

•  Cohen-Tannoudji C., Diu B., Laloe F. (1973) Vol. 1: Quantum Mechanics.
• Rotation about z axis by an angle φ [Graph].Malhotra, Lakshya & Golub, Robert & Krägeloh, Eva & Nouri, Nima & Plaster, Bradley. (2019). Effect of Thomas Rotation on the Lorentz Transformation of Electromagnetic fields.
• Rotation of axes. (2018). [Graph]. Lumen Learning. https://courses.lumenlearning.com/precalctwo/chapter/rotation-of-axes/