Ejercicio clase 29. Preparación de los estados $|+ \rangle$ y $|- \rangle$

Al generar un campo magnético paralelo a un eje arbitrario con dirección u en un experimento de Stern-Gerlach y hacer un agujero en uno de los puntos de "acumulación" de partículas, podemos preparar estados de spin $|+\rangle _{u}$ y $|-\rangle _{u}$. Utilizamos un aparato de Stern-Gerlach como analizador, para el cual las partículas de entrada son las de salida del primer aparato.

Si preparamos las partículas en estado $|+\rangle$ y el analizador mide $S_{z}$, dado que el estado estudiado es autoestado de $S_{z}$, que es lo que buscamos medir, encontraremos la medida asociada al estado de entrada $|+\rangle$, es decir, $+ \frac{\hbar}{2}$.

Ahora, si generamos partículas con estado de spin $\psi = cos(\frac{\theta}{2}) + sin(\frac{\theta}{2})$ (con B en dirección u con ángulos polares $\theta$ y $\phi = 0$ y  medimos $S_{z}$ en el analizador, encontramos partículas en ambos estados asociados a  $+ \frac{\hbar}{2}$ y  $- \frac{\hbar}{2}$, pero cada uno con una probabilidad diferente: para  $|+\rangle =   cos^{2}(\frac{\theta}{2})$ y $|-\rangle =   sin^{2}(\frac{\theta}{2})$.

Suponiendo el caso más general en el que se generan partículas prepradas con estado de spin $\psi = cos(\frac{\theta}{2}) + sin(\frac{\theta}{2})$ y  se busca medir $S_{u}$ con un analizador, encuentre la propabilidad de medir los autovalores $\pm \frac{\hbar}{2} $ de $S_{u}$. 

Solución: Sebastián Montoya Hernández

$_{u}\langle{+}|\psi\rangle^{2}$ , $ _{u}\langle{-}|\psi\rangle^{2} :$

$_{u}\langle{+}|\psi\rangle = [cos\frac{\theta}{2}e^{\frac{i\phi}{2}}\langle{+}|+sin\frac{\theta}{2}e^{\frac{-i\phi}{2}}\langle{-}|][cos\frac{\theta}{2}|+\rangle+sin\frac{\theta}{2}|-\rangle]$

$_{u}\langle{+}|\psi\rangle= cos^{2}\frac{\theta}{2}e^{\frac{i\phi}{2}}+sin^{2}\frac{\theta}{2}e^{\frac{-i\phi}{2}}$

$_{u}\langle{+}|\psi\rangle^{2} = cos^{4}\frac{\theta}{2}e^{i\phi}+sin^{4}\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}+2cos^{2}\frac{\theta}{2}sin^{2}\frac{\theta}{2}$

Análogamente,

$_{u}\langle{-}|\psi\rangle = [-sin\frac{\theta}{2}e^{\frac{i\phi}{2}}\langle{+}|+cos\frac{\theta}{2}e^{\frac{-i\phi}{2}}\langle{-}|][cos\frac{\theta}{2}|+\rangle+sin\frac{\theta}{2}|-\rangle]$

$_{u}\langle{-}|\psi\rangle = -sin\frac{\theta}{2}cos\frac{\theta}{2}e^{\frac{i\phi}{2}}+sin\frac{\theta}{2}cos\frac{\theta}{2}e^{\frac{-i\phi}{2}}$

$_{u}\langle{-}|\psi\rangle^{2} = sin^{^{2}}\frac{\theta}{2}cos^{2}\frac{\theta}{2}e^{i\phi}+sin^{2}\frac{\theta}{2}cos^{2}\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}-2sin^{^{2}}\frac{\theta}{2}cos^{2}\frac{\theta}{2}$

$_{u}\langle{-}|\psi\rangle^{2} = sin^{^{2}}\frac{\theta}{2}cos^{2}\frac{\theta}{2}(e^{i\phi}+e^{-i\phi}+2)$

Clase #32 . Átomo de Hidrógeno. Espectros de Emisión y efecto Zeeman.

 

Espectros de Emisión del átomo de hidrógeno y Efecto Zeeman.

Según la teoría cuántica, los posibles valores para la energía del átomo

de hidrógeno están dados por:

$ E_{n}$ = $ -{\frac{K e^{2}}{2a_{o}n^{2}}}$ = $\frac {-13.606 eV}{n^{2}}$

Donde: 

$K$ : constante eléctrica.

$e$: carga del electrón. 

$a_{o}$ : radio de Bohr.

$n$ : nivel de energía.

así los niveles de energía están cuantizados de manera análoga al modelo

previsto por el átomo de Bohr.

si $n=1$ : entonces $l=0$,  $m=0$ 

donde:    $l = 0,1,2.. n-1$

$E_{1}= -13.606 eV$

$n$ es el número cuántico principal que corresponde al valor de la energía ,

$l$ : número cuántico de momento angular orbital, $m$ = número cuántico

orbital magnético.

Ahora si  consideramos el primer estado excitado tal que $n=2$:

$l = 0,1 $

si $n=2$ , $l=0$ entonces: $m=0$ 

el estado correspondiente será:

$\psi_{200}$

si $n=2$, $l=1$  entonces:$ m = -1,0,1$

los estados permitidos serán:

$\psi_{21-1}$ ,$\psi_{210}$, $\psi_{211}$

Así para el primer nivel excitado (  $n=2$) los posibles estados  permitidos

serán:

$\psi_{200}$, 

$\psi_{21-1}$, 

$\psi_{210}$,

$\psi_{211}$.

Este es el estado $2p$ , y hay degeneración pues hay 4 estados con el mismo

nivel de energía.

Así pués la energía, para el átomo de hidrógeno para decaer desde su estado

con n=2 a n=1, es :

$E_{2} - E_{1} = hf$

donde: h: constante de Planck, f: frecuencia del fotón emitido.

Está diferencia de energía corresponde a la frecuencia de emisión del espectro

del hidrógeno entre su nivel fundamental y su primer estado excitado.

Si ahora se introduce un campo magnético externo $B$ entonces, este interactúa

con el momento angular orbital del átomo de hidrógeno y ocasiona que se rompa

la degeneración para el estado excitado  con $n=2$, Así pues $l=1$ , se divide en

tres sub estados para los cuales cada uno tendrá un valor distinto de energía des-

de el estado en que se encuentra, hasta el estado fundamental.

ver figuras 1 y 2.

Figura 1.Espectros de emisión del átomo de hidrógeno sin y con la acción de un 

campo magnético externo.

Esto provoca que ya no exista una sola frecuencia de decaimiento asociado al fotón,

sino que existen 3 diferentes frecuencias. Lo anterior implica que el espectro del átomo

bajo la acción de un campo magnético, muestra 3 líneas espectrales (ver figura 2).

Este fenómeno es conocido como el Efecto Zeman.

Figura 2. Lineas espectrales asociadas decaimientos energéticos en presencia de 

un campo magnético.

El efecto Zeeman tiene importantes aplicaciones, una de estas, es que permite

determinar intensidades de campo magnético, conociendo las líneas espectrales

de emisión del objeto que lo produce. Por ejemplo  el efecto Zeeman puede ser

aplicado para medir los campos magnéticos fuera de la Tierra más específicamente

en la superficie del sol. Si se conoce la división de las líneas espectrales en esa

región, se puede estimar la magnitud del campo magnético en esa zona.

Referencias:

• Serway, 2007. Física para ciencia e ingeniería con Física moderna.

• Séptima edición.

• https://fisica3j.weebly.com/explicar-el-efecto-zeeman-y-su-importancia.html

CLASE # 16 

Representación de operadores 

Dado un operador lineal A en una base $|u_{i}\rangle$ o $|w_{\alpha}\rangle$ , podemos asociar con él una serie de números definidos por

$$ A_{ij} = \langle{u_{i}} |A| u_{j} \rangle $$

o, en una base continua,

$$  A_{\alpha , \alpha '} = \langle{w_{\alpha}} |A| w_{\alpha '} \rangle  $$

Estos números dependen de dos índices y por tanto pueden ser ordenados e una matriz de tipo $n \times n$. Por convención, para el operador A en la base $|u_{i}\rangle$. Su representación matricial se escribe como 

$$\begin{pmatrix}A_{1 1} &A_{1 2} ... & A_{1 j} ...\\ A_{2 1}& A_{2 2}... & A_{2 j}...\\  .& . &. \\ .& . &. \\ .& . & .\\ A_{i 1}&A_{i 2}...  &A_{i j} \\ .&  &. \\ .&.  &. \\ .& . & . \end{pmatrix}$$

Se puede observar que la j-ésima columna se conforma por componentes en la base $|u_{i}\rangle$ de la transformación $A|u_{i}\rangle$ del vector de la base $|u_{j}\rangle$

Representación del ket $|\psi ' \rangle = A|\psi\rangle$

Conociendo las componentes de $|\psi \rangle$ y los elementos de matriz de $A$ en cierta representación, es posible calcular las componentes de en dicha representación.

En la base $|u_{i}\rangle$ , la coordenada de $c_{i} '$ de $|\psi ' \rangle$  está dada por:

$$c_{i} ' =  \langle{u_{i}} | \psi ' \rangle = \langle{u_{i}} |A| \psi \rangle$$

Aplicando la relación de completez, se obtiene:

$$c_{i} ' =   \langle{u_{i}} |A \mathbb{I}| \psi \rangle =  \langle{u_{i}} |A P_{u_{j}}| \psi \rangle$$

$$\sum_{j} \langle{u_{i}} |A| u_{j} \rangle \langle{u_{j}} | \psi \rangle$$

$$\sum_{j} A_{ij} c_{j}$$

De la misma manera para una base continua $|w_{\alpha}\rangle$:

$$c_{\alpha} ' =  \langle{w_{\alpha}} | \psi ' \rangle = \langle{w_{\alpha}} |A| \psi \rangle$$

$$\int d \alpha '\langle{w_{\alpha}} |A| w_{\alpha '}  \rangle \langle{w_{\alpha '} }|\psi \rangle$$

$$\int d \alpha ' A(\alpha , \alpha ') c(\alpha ')$$

Expresión para el número $\langle{\phi} |A| \psi \rangle$

Al insertar la relación de completez entre $\langle{\phi}|$ y $A$ y nuevamente entre $A$ y $ | \psi \rangle $, se obtiene:

$$ \langle{\phi} |A| \psi \rangle =   \langle{\phi} |P_{u_{i}}AP_{u_{j}}| \psi \rangle$$

$$ \sum_{i,j} b^{*}_{i} A_{ij} c_{j}$$

Y de manera análoga para la base continua:

$$ \langle{\phi} |A| \psi \rangle =   \langle{\phi} |P_{w_{\alpha}}AP_{w_{\alpha '}}| \psi \rangle$$

$$ \int \int d \alpha d \alpha '  b^{*}(\alpha) A(\alpha , \alpha ') c(\alpha ')$$

Sebastián Montoya Hernández

Ejercicio Clase 16. Operadores y cambios de Base

 

En la clase se trabajó en el cambio de bases discretas para operadores lineales :

Un tipo especial de transformación lineal, es el cambio de base de un operador lineal de un espacio a otro , sea el operador lineal momento angular  a lo largo del eje x definido como:

$ \hat {L}_{x}  = -i ( y \frac{ \partial }{ \partial_{z}} - z \frac{\partial}{ \partial_{y}} ) $ 

a) Encuentre la representación del operador $  \hat {L}_{x} $ en la base estándar cartesiana $ B =\left\lbrace x,y,z \right\rbrace  $.

b) Una vez representado el operador en la base B , encuentre la representación de $  \hat {L}_{x} $ en la base $B' =   \left\lbrace \frac{1}{\sqrt{2} (x + iy)} , z, \frac{-1}{\sqrt{2}} (x-iy)\right\rbrace $, donde $B'$ es la base de los armónicos esféricos en coordenadas cartesianas.

Sugerencia: Utilice la ecuación de transformación de similaridad para un operador lineal $\hat{T}$ tal que :

$[ \hat{T}]_{B'} = A [ \hat{T}]_{B} A^{-1}$.

donde: $A$ : es la matriz de cambio de base entre $ B $ y $ B'$

Ejercicio Clase 31 - Abril 4 de 2022

 Considere el operador momento angular $L_z$ en coordenadas cartesianas dado por: 

$$ L_{z} = - i \hbar \left ( x\frac{\partial }{\partial y} - y \frac{\partial }{\partial x} \right ) $$

Usando la transformación a coordenadas esféricas: $x = r sin\theta sin \phi$, $ y = r sin\theta sin \phi$, $z = r cos\theta$, donde $0 \leq \theta \leq \pi$ y  $0 \leq \phi \leq 2 \pi $, escribir los operadores $\frac{\partial }{\partial x}$ y  $\frac{\partial }{\partial y}$ en términos de $r$ ,  $\theta$ y $\phi$ y con esto escribir $L_z$ en coordenadas esféricas. 

Ejercicio propuesto por Jonathan Posada. 

Aplicación de la Clase 28 de Marzo: Precesión de Larmor

 Precesión de Larmor

Como ya sabemos, el núcleo de un átomo tiene un momento angular intrínseco que ocasiona su rotación alrededor de su propio eje, esto se conoce como Spín. En ausencia de un campo magnético externo este movimiento continua inalterado; sin embargo, si se añade el campo el eje de rotación precesará alrededor de este. Esto se puede ver en la figura 1.

             Figura 1. Partícula con spín en ausencia  y en presencia de un campo magnético externo                                 respectivamente.

La precesión de Larmor tiene su importancia en la resonancia magnética nuclear, resonancia magnética, resonancia paramagnética de electrones y alineación de granos de polvo cósmico.

La más importante de estas aplicaciones es la resonancia nuclear magnética (RNM), la cual es un fenómeno donde los núcleos que se encuentran en presencia de un campo magnético oscilante responden con una frecuencia similar a la del campo. Para producir este efecto se debe:

1. Alinear los spínes de los núcleos en un campo magnético aplicado constante.

2. Perturbar esta alineación de los spínes con un nuevo campo oscilante que se conoce como "pulso de radiofrecuencia".

3. Detectar la señal de RNM que se generan durante los pulsos. Después de estos pulsos, presenta una precesión con la frecuencia de Larmor del núcleo en cuestión.

Esta técnica es ampliamente usada en la espectroscopía y permite conocer la estructura de moléculas orgánicas, cristales (figura 2). Igualmente, tiene sus aplicaciones en la formación de imágenes médicas como por ejemplo la formación de imágenes por resonancia magnética.

Figura 2. Espectrómetro de resonancia magnética nuclear (RMN).

Bibliografía

Precesión de Larmor.(S.F). Recuperado de: 

https://hmong.es/wiki/Larmor_precession#:~:text=La%20precesi%C3%B3n%20de%20Larmor%20es,la%20luz%20de%20las%20estrellas%20.

Presentado por Valentina Pérez Cadavid.

Solución al Ejercicio Clase 24 - Marzo 15

 Para determinar los elementos de matriz de los operadores $a^{\dagger  }$, $a$, $X$ y $P $ en la base $\left|\varphi _n \right>$ se debe "sanduchar" entre dos estados $\left|\varphi _n \right>$ y $\left|\varphi _{n'} \right>$. Además se debe tener en cuenta la acción de estos operadores sobre un estado arbitrario

• $a^{\dagger}\left|\varphi _n \right> = \sqrt{n+1}\left|\varphi _{n+1} \right> $

$a\left|\varphi _n \right> = \sqrt{n}\left|\varphi _{n-1} \right> $

1. Elementos de matriz para $a$

$<\varphi  _{n'}|a\left|\varphi _n \right> = <\varphi  _{n'}|\sqrt{n}\left|\varphi _{n-1} \right> = \sqrt{n}\delta_{{n'},{n-1}} $

2. Elementos de matriz para $a^{\dagger}$

$ <\varphi  _{n'}|a^{\dagger  }\left|\varphi _n \right> = <\varphi  _{n'}|\sqrt{n+1}\left|\varphi _{n+1} \right> = \sqrt{n+1}\delta_{{n'},{n+1}}$

3. Elementos de matriz para $X$

$ <\varphi  _{n'}|X\left|\varphi _n \right> = <\varphi  _{n'}|\sqrt{\frac{\hbar}{2mw}} (\sqrt{n+1}\left|\varphi _{n+1} \right> + \sqrt{n}\left|\varphi _{n-1} \right> ) =$

$\sqrt{\frac{\hbar}{2mw}}(\sqrt{n+1}\cdot\delta_{{n'},{n+1}} + \sqrt{n} \cdot\delta_{{n'},{n-1}}) $

4. Elementos de matriz para $P$

$ <\varphi  _{n'}|P\left|\varphi _n \right> = i \sqrt{\frac{\hbar}{2mw}}\cdot (\sqrt{n+1}\cdot\delta_{{n'},{n+1}} -\sqrt{n}\cdot \delta_{{n'},{n-1}})$

Solucionado por Valentina Pérez Cadavid.

Clase 21 Postulados Mecanica Cuantica (Aplicación)

 Al hablar de los postulados de la mecánica cuántica, es hablar de  los fundamentos de  ella por lo tanto toda aplicación es un resultado de los mismos así que podemos hacer referencia de cualquiera como por ejemplo sistema de GPS, relojes atómicos, computadores, inteligencia artificial entre otras una de las que puede causar gran impacto y es muy conocida por todos sin ser conscientes de que lleva implicito estos postulados o fundamentos es la RESONANCIA MAGNECTICA :

Algo anda mal en el cuerpo entonces se presentan dos opciones para saber que sucede abrir con un bisturí y buscar otra menos riesgosa,  inspeccionar con una resonancia magnética nuclear, aquí aprovechamos un fenómeno llamado resonancia cuántica entre spines de núcleos atómicos  y la radiación electromagnética 

En terminos cuánticos preparamos el sistema, enviamos unas radiofrecuencias a un sector del tejido humano e produce un fenómeno  los átomos de hidrogeno captan a esos fotones y entran en resonancia con el, lo cual lo hace observable, paso seguido cuando el cuerpo los núcleos recuperan su estado inicial la energía sobrante sale del cuerpo la cual es captaba por el detector que nos permite recuperar los tejidos con su geometría que envio los fotones y vemos una imagen sin cortas nuestro cuerpo con un cuchillo. 

Elaborado por David Andres Pedroza.