Ejercicio Clase 16. Operadores y cambios de Base

 

En la clase se trabajó en el cambio de bases discretas para operadores lineales :

Un tipo especial de transformación lineal, es el cambio de base de un operador lineal de un espacio a otro , sea el operador lineal momento angular  a lo largo del eje x definido como:

$ \hat {L}_{x}  = -i ( y \frac{ \partial }{ \partial_{z}} - z \frac{\partial}{ \partial_{y}} ) $ 

a) Encuentre la representación del operador $  \hat {L}_{x} $ en la base estándar cartesiana $ B =\left\lbrace x,y,z \right\rbrace  $.

b) Una vez representado el operador en la base B , encuentre la representación de $  \hat {L}_{x} $ en la base $B' =   \left\lbrace \frac{1}{\sqrt{2} (x + iy)} , z, \frac{-1}{\sqrt{2}} (x-iy)\right\rbrace $, donde $B'$ es la base de los armónicos esféricos en coordenadas cartesianas.

Sugerencia: Utilice la ecuación de transformación de similaridad para un operador lineal $\hat{T}$ tal que :

$[ \hat{T}]_{B'} = A [ \hat{T}]_{B} A^{-1}$.

donde: $A$ : es la matriz de cambio de base entre $ B $ y $ B'$