Problema sobre densidad de nodos. La esencia del cálculo del número de modos de vibración de las ondas confinadas en una cavidad puede entenderse considerando un ejemplo unidimensional. Para dar una mejor claridad a lo visto en clase resolver los siguientes ítem:
(a) Calcule el número de nodos con longitud de onda entre 2.0 cm y 2.1 cm que puede haber en una cuerda con extremos fijos de 2.0 m de longitud.
Sugerencia: Usar $ \frac{n\lambda}{2} = L $ donde $ n = 1,2,3, ... $, $ \lambda $: representa la longitud de onda, $ L $: longitud de la cuerda.
(b) Calcule, por analogía con el caso tridimensional, el número de nodos por unidad de longitud de onda por unidad de longitud $ \frac{\Delta n}{L \Delta \lambda} $.
(c) Para finalizar desarrolle a detalle como derivar la ecuación:
$$ N(\nu) d\nu = \frac{8 \pi V}{c^3} \nu^2 d\nu$$
Dónde $V$: representa el volumen de la cavidad, en este caso para mayor facilidad tome la cavidad como un cubo. Esta ecuación en general representa el número de ondas electromagnéticas estacionarias permitidas, en cada intervalo de frecuencias, para el caso de una cavidad cúbica tridimensional.
(d) Responda las siguientes tres preguntas:
1. ¿Por qué se dice que la radiación en el interior de la cavidad existe en forma de ondas estacionarias con nodos como se calculo anteriormente?.
2. ¿Por qué Planck al desarrollar la teoría de radiación de cuerpo negro no dio lugar a duda al desarrollo realizado en el ítem (c)? .
3. En la ecuación demostrada en el ítem (c) explique el factor $ \nu^2 $ qué implicaciones tiene en la realidad.
Referencias:
1. Física cuántica, átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas. Eisberg & Resnick. Limusa Noriega editores.
2. Modern Physics. Raymond A. Serway, Clement J. Moses & Curt A. Moyer. Third Edition. Problem 7, page 102.
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