Clase 7: Átomo de Bohr y Mecánica Ondulatoria

Juan Felipe Zapata

El modelo atómico de Bohr 

Ideas básicas del modelo 

1) Los electrones se mueven en órbitas circulares alrededor del núcleo bajo el efecto de la fuerza de coulomb 

2) Sólo ciertas órbitas son estables, estas son en dónde los electrones no radían, por lo tanto la energía es fija en el tiempo y su movimiento se puede describir usando mecánica clásica. 

3) El átomo emite radiación cuando los electrones pasan de un estado de energía mayor $E_{i}$ a otro menor $E_{f}$; la frecuencia del fotón emitido es independiente de la frecuencia del movimiento orbital  los electrones y está dada por la ecuación: $$E_{i}-E_{f}=h \nu$$

4) Las órbitas permitidas para los electrónes son aquellas en las que el mometo angular orbital del electrón es un múltiplo entero de $\hbar$: $$m_{e}vr=n\hbar$$

Estos postulados llevan a órbitas y energías cuantizadas: 

a) El radio para el orbital de  un electrón en el nivel de energía $n$ es: $$r_{n}=n^{2}\frac{a_{0}}{Z}$$ en donde $Z$ es el número de protones en el núcleo y  $a_{0}=\frac{\hbar^{2}}{m_{e} \cdot k \cdot e^{2}}=0.0529 nm$, se denomina el radio de Bohr.

b) Los valores de energía permitidos para un átomo con número atómico $Z$ son: $$E_{n}=-\frac{ke^{2}}{2 a_{0}}\left( \frac{Z^{2}}{n^{2}}\right)$$ el valor negativo de la energía indica un sistema ligado electrones-protones, donde $k$ es la constante de coulomb. Si $E_{n} \geq 0$ entonces el electrón se llama electrón libre. 

Espectros de emisión

 La longitud de onda $\lambda$ de un fotón  emitido por un electrón al pasar de un nivel de energía $n_{i}$ con energía $E_{i}$ a otro $n_f$ con energía $E_{f}$ está dada por la fórmula de Rydberg: 

$$\frac{1}{\lambda}=R Z^{2} \left(\frac{1}{n_{f}^{2}}- \frac{1}{n_{i}^{2}}\right)$$ en donde $R$ se denomina la constante de Rydberg, $R=1.0973732 \times 10^{7} m^{-1}=\frac{k \cdot e^{2}}{2 a_{0} h c}$. 

$n_{f}$ $\epsilon$ $\mathbb N$ y $ n_{f}+1 \leq n_{i} \leq n_{f}+1, n_{f}+2,n_{f}+3, \cdot \cdot \cdot $

Principio de correspondencia de Bohr

 Las predicciones de la teoría cuántica deben corresponder a las predicciones de la física clásica en la región de tamaños donde se sabe que la teoría clásica es valida, de forma simbólica: $$\lim\limits_{n \to \infty}(cuántica)=clásica$$ a medida que $n$ crece los niveles de energía están tan juntos que se considera a $\Delta E$ un contínuo. 

Principio de Combinación de  Ritz

 Las frecuencias medidas de las radiaciones emitidas o absorbidas por los átomos se pueden expresar como la diferencia entre dos términos, llamados términos espectroscópicos, los cuales toman una serie de valores característicos para cada elemento. 

Este principio fue propuesto en 1908 de forma empírica basándose en el trabajo de Johann Jakob Balmer, luego Bohr con su teoría pudo cubrir este principio de forma matemática. 

Experimento de Frank-Hertz

Con este experimento se pudo demostrar que los electrones, en este caso de átomos de  mercurio, sólo admitían cantidades específicas de energía transferidas por otros electrones al chocar con ellos, lo cual confirmó las ideas de Bohr de la discretización de la energía de los electrones en sus orbitales.

El montaje experimental es como en Fig.1 :

Fig. 1. Aparato de Frank-Herz. Gotas de mercurio se encierran en un tubo de vacío a $185 ^{°}C$ y experimentan evaporación; de la parte izquierda se aceleran electrones, que interactúan con los átomos de Hg.

Lo que se observó en el experimento es que a medida que se se aumenta el voltaje de aceleración la corriente detectada en el electrómetro no tenía un comportamiento lineal, sino más bien oscilante, como se ve en Fig.2

  

Fig. 2. La corriente como una función del voltaje de aceleración 

Si no estuviera el gas de mercurio, con la energía ganada en la región del voltaje de aceleración es más que suficiente para que un electrón no sea frenado después de la rejilla y pueda ser detectado, sin embargo, como tenemos un gas, los electrones pierden energía al interactuar con los átomos y algunos no superan en voltaje retardador generando bajas en la corriente medida. Cuando se aumenta el voltaje de aceleración hay unos puntos en donde las colisiones entre los electrones y los átomos son inelásticas, en estas colisiones los electrones transfieren casi toda su energía a los átomos, estos electrones no superan el voltaje retardador y la corriente detectada decrece como en los puntos (A) y (C) de Fig. 2. 

Lo que resulta de todo lo anterior es que sólo para ciertos valores de energía adquiridos por los electrones se detectaban las bajas en la corriente, indicando que el átomo sólo absorbía valores muy específicos de energía, los que coinciden con los medidos en los espectros ópticos de emisión. 

Deficiencias del modelo

1) No predice la intensidad de las líneas espectrales

2) Predice parcialmente las longitudes de onda de emisión y absorción de átomos multielectrónicos

3) No proporciona ecuaciones de movimiento para sistemas atómicos

4) No podía explicar la  dualidad onda-partícula de la luz ya que  la consideraba corpuscular

5)  No podía cuantizar sistemas que tuvieran un movimiento no periódico

6) Sólo permite orbitales planos

Mecánica Ondulatoria 

"Debido a que los fotones poseen características ondulatorias y corpusculares, quizá todas las formas de la materia también tengan propiedades ondulatorias y corpusculares " Louis Víctor de Broglie. 

Ondas guía de Broglie

Según  Broglie la longitud de onda y la frecuencia asociadas a una onda de materia en movimiento son: 

$$\lambda=\frac{h}{p}$$$$y$$$$\nu=\frac{E}{h}$$ en donde $p=\gamma m v$ y $E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}=\gamma^{2}m^{2}c^{4}$ son el momento y la energía relativístas. Esta onda asociada no es una onda electromagnética, es una onda que guía o le dice a la materia cómo moverse en el espacio. Experimentalmente es muy difícil tener un $\lambda$, $p$ y $\nu$ exactos, lo que se tiene es una combinación (no monocromático), por eso consideramos a $\lambda=\lambda_{0}+\Delta \lambda$ y de igual manera $\nu=\nu_{0}+\Delta \nu$, en donde $$\lambda=\frac{h}{p_{0}+\Delta p}=\frac{h}{p_{0}}\left( 1+\frac{\Delta p}{p_{0}}\right)^{-1}\approx \frac{h}{p_{0}}\left(1-\frac{\Delta p}{p_{0}} \right)$$ por lo tanto $$\Delta \lambda= \left | \frac{h \Delta p}{p_{0}^{2}}\right|$$ similar de hace para las demás cantidades

Experimento de Davisson-Germer

Con este experimento se probó sin querer la naturaleza ondulatoria de los electrónes propuesta por Broblie. El montaje experimental fue el siguiente: 

Fig. 3. Esquema del experimento de Davisson-Germer

En el experimento original Davisson-Germer quería saber cómo se distribuían los átomos de níquel policristalino bombardeando una muestra con electrones, sucedió un accidente en la cámara de vacío y el níquel se oxidó, para reducir el níquel se redujo con una corriente de hidrógeno, lo que hizo que la superficie se erosionara y quedaron algunos monocristales en la superficie, cuando realizaron el experimento de nuevo observaron un patrón de interferencia-difracción parecido al siguiente: 

Fig. 4. Difracción de electrones a 50kV por una película de $Cu_{3}Au$ de $400 \times 10^{-10}m$ de espesor. 

Gráficamente estos resultados se presentan como: 

Fig. 4. Gráfica polar de la intensidad de dispersión contra el ángulo de dispersión para electrones a  54eV

Si la energía de los electrones es muy grande no se puede utilizar la ecuación de interferencia $d \sin \theta = n \lambda$ sino la ley de Bragg $2d\sin\theta = n\lambda$ pues el electrón penetra más en la red cristalina e interfiere con más átomos. 

Experimento de la doble rendija

Con este experimento se logró observar que si se envía un haz de electrones a través de una rejilla de dos rendijas se observa un patrón de interferencia y que si se envían electrones individuales, también se obtiene el mismo patrón de interferencia, esto muestra la veracidad de la descripción del electrón como una onda, pues como se envía de a un electrón este debe pasar por las dos rendijas al mismo tiempo para poder generar el patrón observado. Sin embargo, cuando se  mide por cuál rendija pasó el electrón el patrón observado ya no es de interferencia, sino el esperado en el caso de que el electrón fuera una partícula.

Referencias: 

Raymond A. Serway. "Naturaleza corpuscular de la luz: el átomo de Bohr". Física Moderna. 3ra ed. Editorial Thomsom. pág  125-139. 

Raymond A. Serway. "Naturaleza corpuscular de la luz: Confirmación directa de los niveles de energía atómicos: el experimento de Frank-Hertz". Física Moderna. 3ra ed. Editorial Thomsom. pág  141-143. 

Raymond A. Serway. "Ondas de materia: ondas piloto de De Broglie". Física Moderna. 3ra ed. Editorial Thomsom. pág  152-154. 

Raymond A. Serway. "Ondas de materia: Experimento de Davisson-Germer". Física Moderna. 3ra ed. Editorial Thomsom. pág  154-158. 

Problema Distribución de Maxwell-Boltzmann

Repita el análisis visto en clase para un sistema de 6 partículas y una energía total $6 \Delta E$, determine las posibles configuraciones del sistema con sus respectivas probabilidades y calcule

• La probabilidad de que tomar una partícula con una energía de $2 \Delta E$
• La probabilidad de que tomar una partícula con una energía de $3 \Delta E$ ó  $4 \Delta E$

Solución por Sofia Idárraga

Clase 5: Distribución de Maxwell-Boltzmann & Teoría de Planck

En esta clase se abordó la distribución de Maxwell-Boltzmann en contexto con el desarrollo de la teoría de radiación de cuerpo negro y el esfuerzo histórico de los físicos europeos de principios del siglo XX por llegar a un modelo de radiación que se ajustara a los espectros observados en la naturaleza, y que resolviera la llamada "catástrofe UV".

El legado de Boltzmann

Ludwig Boltzmann (Viena, 1844 - Trieste, 1906) es a quien se atribuye el trabajo teórico principal de la distribución de Maxwell-Boltzmann (A Maxwell se atribuye el aporte de una distribución de velocidades). Su obra máxima fue el desarrollo de la física estadística, que demuestra el caracter sui-generis (como expresa el profesor Nelson) de su entendimiento e interpretación de la física, que es muy original y diferente respecto a las lineas de pensamiento que se siguen para el desarrollo de otras teorías como la relatividad o la mecánica cuántica. 

El profesor menciona que en el trabajo reciente de reformar los patrones con los que se definen las unidades fundamentales del sistema internacional de unidades la constante de Boltzmann $k_B$ es la utilizada para la definición de la unidad de temperatura Kelvin (K).

Se recomienda leer y conocer más sobre la vida y obra de Boltzmann, que impactó aspectos fundamentales de la física moderna.$^1$

La distribución de probabilidad de Boltzmann

Para construir la distribución de Boltzmann partamos de un experimento:

 Supongamos una caja que contiene  N partículas que se distribuyen de manera homogénea  y se encuentran en equilibrio termodinámico, estas chocan aleatoriamente unas con otras. Todas las partículas tienen iguales propiedades lo que conlleva a todas interactúen e influyan en el comportamiento de las demás, de modo que podemos monitorear el cambio en la energía de una de las partículas en el tiempo y la misma homogeneidad hace que ver el estado de la partícula en $N$ instantes de tiempo sea indistinguible de un solo instante de tiempo observar la energía de $N$ partículas. Tenemos también entonces que un sistema de $N$ partículas tendrá una energía total $E$, que deberá conservarse en el tiempo. La siguiente gráfica muestra un modelo numérico de la situación propuesta pero tomando nota de las velocidades de las partículas en cada momento, pero la idea es análoga con el experimento propuesto.

En este escenario nos podemos preguntar: ¿Cuántas de las $N$ partículas tienen un valor de energía entre $E_o$ y $E_o + \Delta E$? Saber esto implica conocer la distribución de $P(E_o < E < E_o+\Delta E)$. Para aproximarnos a la respuesta el libro de Eisberg nos propone un ejemplo más manejable: supongamos que en la caja tenemos solo 4 partículas, que el valor de energía en cada una está restringido a los valores $0$, $\Delta E$, $2\Delta E$, $3\Delta E$, ... (En este caso $E_o=0$) y que la energía total del sistema es $3\Delta E$. Así podemos mirar cuántas configuraciones posibles hay para distribuir la energía entre las partículas y las formas distintas en que se puede obtener cada configuración. Así Eisberg nos propone el siguiente esquema, donde ponemos cada configuración posible como valores de $i$ y cada configuración tiene 5 compartimientos donde vamos a representar cuantas partículas pueden tener ese valor de energía en cada caso:

Vemos entonces que una primera configuración ($i=1$) que cumple con las condiciones del problema es tener 3 partículas con $E=0$ y una con $E=3\Delta E$, y esta configuración podría repetirse de 4 formas, considerando que cualquiera de las 4 partículas puede ser la que tenga dicho valor de energía. Ahora una segunda configuración ($i=2$) puede ser tener una partícula con $E=2\Delta E$, otra con $E=\Delta E$ y las dos restantes con $E=0$, esta configuración podría darse de 12 formas, ya que tenemos 4 formas de que cada una de las partículas tenga $E=2\Delta E$ y por cada una de estas formas quedarían 3 posibles para que haya otra con $E=\Delta E$. Ahora una tercera configuración ($i=3$) sería tener 3 partículas con $E=\Delta E$ y una sola con $E=0$, este caso es análogo al primero por lo que se da de 4 formas posibles. Una breve inspección permite notar que no hay otros casos posibles que no excedan el límite de energía total del sistema o se queden cortos.

Así tenemos entonces un total de 3 configuraciones, pero que pueden darse de 20 formas. Pero en este caso nos interesa responder a la pregunta inicial, de saber como se distribuye la probabilidad de que al tomar una partícula cualquiera esta esté en algún valor de energía sin importar en qué configuración está el sistema como un todo. Para esto podemos ver el acumulado respecto a las verticales del esquema que nos da Eisberg. Veamos cada valor de energía:

Primero si queremos ver la probabilidad de que tomemos una partícula de $E=0$ tenemos que la configuración 1 nos aporta 3 partículas que tienen dicha energía en $4/20$ de los casos, la configuración 2 aporta 2 partículas en $12/20$ y la configuración 3 aporta 1 partícula en $4/20$ de los casos, sumando estos aportes tenemos que:

$$ P(E=0) = 3 \cdot \frac{4}{20} + 2\cdot \frac{12}{20} + 1\cdot \frac{4}{20} = \frac{40}{20}$$

El mismo razonamiento para los demás valores de energía fácilmente nos lleva a:

$$ P(E=\Delta E) = 0 \cdot \frac{4}{20} + 1\cdot \frac{12}{20} + 3\cdot \frac{4}{20} = \frac{24}{20}$$

$$ P(E=2\Delta E) = 0 \cdot \frac{4}{20} + 1\cdot \frac{12}{20} + 0\cdot \frac{4}{20} = \frac{12}{20}$$

$$ P(E=3\Delta E) = 1 \cdot \frac{4}{20} + 0\cdot \frac{12}{20} + 0\cdot \frac{4}{20} = \frac{4}{20}$$

$$ P(E>3\Delta E) =  \frac{0}{20}$$

Esta es una probabilidad sin normalizar, por eso los valores son en algunos casos mayores a 1. De graficar estos valores de probabilidad respecto a los valores de energía se obtiene la gráfica:

También se grafica la linea sólida que representa la función general:

$$ P(E)=A \text{e}^{-E/\epsilon_o} $$

Donde $A$ y $\epsilon_o$ son constantes tomadas con valores particulares en la gráfica para que se ajustara a la dispersión de puntos obtenida.

Ahora para generalizar el problema y responder la pregunta inicial tenemos que pensar en hacer $\Delta E \to 0$ a la vez que hacemos crecer a $N$ haciendo cumplir en todo momento que $N\cdot \Delta E$ permanece constante (al ser la energía total del sistema). Este desarrollo se explica en detalle en el libro de Eisberg (sección 3.7), en la clase simplemente se indicó que puede llegarse entonces así a la distribución de Boltzmann (o a la de Maxwell si se hace el ejercicio respecto a las velocidades):

$$ \boxed{ P(E)= P_0 \text{e}^{-E/k_B T} } $$

La teoría de Planck

Ahora continuando con lo trabajado en la clase anterior se tiene entonces que la energía media de las ondas estacionarias que ocurren dentro de la caja (volviendo al cuerpo negro) tienen una energía media:

$$ \bar{E} = \frac{\int_0^\infty E \cdot P(E) \text{d}E }{\int_0^\infty P(E) \text{d}E} = k_B T $$

Para resolver el problema de la catástrofe UV que se presentaba con el modelo de Rayleigh-Jeans, Planck propuso realizar una discretización del problema, inicialmente como un artificio matemático que simplemente modificaría la expresión obtenida para la fórmula de la radianza espectral. 

La idea de Planck era sumar (en lugar de integrar) y usar una forma de contar la energía que suprimiera las frecuencias altas, y precisamente la forma exponencial negativa de la distribución de Boltzmann sugería que si $E \propto \nu$ a medida que las frecuencias se hacen más altas la distribución tiende a cero. Así que la propuesta es suponer que las paredes no emiten en cualquier frecuencia (debido a la discretización) sino en paquetes de energía específicos, que son proporcionales a las frecuencias admitidas, relacionadas mediante una constante de proporcionalidad $h$:

$$ \Delta E = n h \nu $$

Así Planck propone que las paredes de la caja pueden interpretarse como osciladores que solo pueden emitir o absorber energía en ciertas frecuencias muy específicas, de modo que el cálculo de la energía media cambia así:

$$ \bar{E} = \frac{\sum_{n=0}^\infty E_n \cdot P(E_n) }{\sum_{n=0}^\infty P(E_n)} $$

Reemplazando $E_n=nh\nu$ y $P(E_n)=P_0 \text{e}^{-nh\nu /k_B T}$, llegamos a:

$$ \bar{E} = h\nu \frac{\sum_{n=0}^\infty n \cdot e^{-n\alpha} }{\sum_{n=0}^\infty e^{-n\alpha} } $$

Donde $\alpha=h\nu /k_B T$. Aquí podemos recurrir a la teoría de series infinitas para recordar que la serie geométrica $\sum_{n=0}^{\infty}r^n$ converge a $(1-r)^{-1}$ para $|r|<1$. También de derivar este resultado y multiplicar por $r$ se llega a que $\sum_{n=0}^{\infty}nr^n=r(1-r)^{-2}$. En este caso $r=e^{-\alpha}$ (que es fácil ver que es siempre menor a $1$) y por lo tanto tenemos que:

$$ \bar{E} = \frac{\text{e}^{-\alpha}(1- \text{e}^{-\alpha})^{-2}}{(1- e^{-\alpha})^{-1}} $$

De donde se obtiene al simplificar finalmente:

$$\bar{E}=\frac{h\nu}{e^{h\nu/k_B T}-1}$$

Ahora reemplazando esto en la expresión para $u \text{d}\nu$ que fue problemática en la aproximación de Rayleigh-Jeans obtenemos la famosa fórmula de Planck:

$$ u \text{d}\nu = \frac{8\pi \nu^2}{c^3} \bar{E} \text{d}\nu $$

$$\Rightarrow \boxed{ u \text{d}\nu = \frac{8\pi \nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{h\nu/k_B T}-1} \text{d}\nu}$$

Finalmente obteniendo un modelo que se acopló mucho mejor a las observaciones de la radiación de cuerpo negro, además de dar otro punto de apoyo a la hipótesis de la cuantización de la energía, también utilizada para la explicación del efecto fotoeléctrico trabajado en las primeras clases.

Referencias bibliográficas

• Eisberg, R. M. Fundamentals of Modern Physics. John Wiley & Sons, Inc. (1961)
• Imagen de Ludwig Boltzmann: By Unknown author - Uni Frankfurt, Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=865671
• Animación de la distribución de Maxwell-Boltzmann: By Dswartz4 - Own work, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=78848788
• Imagen de Max Planck: De Bundesarchiv, Bild 183-R0116-504 / CC-BY-SA 3.0, CC BY-SA 3.0 de, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=5436000

Nota del Editor:

$^1$ Se debió recomendar una lectura adicional citando algún texto o autor. 

En general la relatoría de la clase es muy buena, no se encuentran errores en la teoría descrita o en la coherencia con la clase correspondiente, tampoco se encuentran errores gramaticales o de ortografía en la redacción. Además, tiene en cuenta la referenciación de los créditos de las imágenes usadas en el texto. 

Clase 4. Radiación de cuerpo negro y la catástrofe ultravioleta.

 Continuando con el problema de la radiación de cuerpo negro y sabiendo que la energía total se puede expresar como $E=NkT$, se considera ahora la función $U(\nu , T)$ (Por familiaridad se usa $\nu$ para referirse a la frecuencia) que no es más que la densidad de energía en la cavidad por unidad de volumen por unidad de frecuencia, con lo que $U(\nu , T) d \nu$ será la densidad de energía por unidad de volumen debida a ondas electromagneticas entre $\nu$ y $\nu + d\nu$.

Sea $\overline{E}$ la cantidad de energía con que contribuye cada modo de oscilación. Con ello podemos decir que, 

$$U(\nu,T)d\nu = \frac{\overline{E}N(\nu,T)d\nu}{V}  \:\:\:\:\ (1)$$

Consideremos la cavidad como un cubo de lado $a$ como el que se puede apreciar en la Figura 1.

Figura 1.

Luego de representar la cavidad como un cubo se puede considerar la relación geométrica $n=\frac{2a}{\lambda}$  y así,

$$\Delta n = \Delta \nu \frac{2a}{c}$$ $$\Delta \nu \frac{a}{c} = \frac{\Delta n}{\Delta \nu}\Delta \nu \rightarrow \frac{\Delta n}{\Delta \nu}$$

Recordemos que se puede expresar el campo $\vec{E}$ como una una onda plana de la forma $\vec{E}=\vec{E_0} sin(\vec{k} . \vec{r} - \omega t)$ con las direcciones $\hat{i}$, $\hat{j}$, $\hat{k}$ independientes y para hablar de ondas estacionarias, $\vec{E}$ se anula en las paredes con una condición de frontera igual en cada una de las direcciones. Trabajando en cada uno de los ejes podemos descomponer la longitud de onda de la forma $\lambda^{2} = \lambda_{x}^{2} + \lambda_{y}^{2} + \lambda_{z}^{2}$. Luego, 

$$\nu = \frac{c}{\lambda} = \frac{c}{\sqrt{ \lambda_{x}^{2} + \lambda_{y}^{2} + \lambda_{z}^{2}}} \rightarrow  \lambda_{x} = \frac{2a}{n_{x}}, \lambda_{y} = \frac{2a}{n_{y}}, \lambda_{z} = \frac{2a}{n_{z}}.$$

$$\rightarrow \nu = \frac{c}{2a} \sqrt{n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2}}.$$

Supongamos ahora un r tal que $r =  \sqrt{n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2}}$, r como una distancia al origen de un sistema coordenado con ejes $n_{x}, n_{y}$ y $n_{z}$, esto con el objetivo de contabilizar los modos de oscilación por unidad de frecuencia, en este caso para $\frac{1}{8}$ de la esfera como se muestra en la Figura 2.

Figura 2.

Utilizando el dr que se observa en la Figura 2 y recordando los resultados de la Clase 3 podemos expresar $N(r)dr = \frac{1}{8} 4 \pi r^{2} dr = \frac{\pi}{2} \left(\frac{2a}{c}\right)^{3}$ ó en términos de la longitud de onda, 

$$\frac{N(\lambda) d \lambda}{V} = \frac{8 \pi}{\lambda^{4}} d\lambda$$

Y reemplazando en (1),

$$U(\nu , T) d \nu = \frac{8 \pi}{\lambda^{4}}kT d \lambda  \:\:\:\: (2)$$ 

Este es el resultado encontrado por Rayleigh y también por Jeans, el cual entra en conflicto con los datos experimentales tal como se mostró en la Figura 3 de la Clase 3, lo cual fue denominado La Catástrofe Ultravioleta ya que esta densidad de energía diverge en el origen para el resultado teórico. 

 Ahora trabajemos en la energía media $\overline{E}$ y en su consecución. Recordemos que el valor medio de una variable x cuando se conoce su distribución de probabilidad P(x) es, 

$$\overline{x} = \int_{0}^{x_{max}} x P(x) dx$$

En nuestro caso cuando abrimos nuestro cubo queremos responder a la pregunta ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una energía entre E y E+dE? Luego,

$$P(E_0 < E < E_1) =  \int_{E_0}^{E_1}  P(E) dE \rightarrow \overline{E} =  \int_{0}^{\infty} E P(E) dE$$

La función P(E) se  conoce como la distribución de Maxwell-Boltzmann de la forma $P(E) = P_0 e^{-\frac{E}{kT}}$ con $P_0 = \frac{1}{kT}$ y  su consecución se abordara en la próxima clase. Como P no es más que los N ensayos positivos en experimento sobre el N total de ensayos en el mismo, podemos entonces calcular la energía media como, 

$$\overline{E} = \int_{0}^{\infty} E P(E) dE = \frac{P_0 \int_{0}^{\infty} E e^{-\frac{E}{kT}}  dE}{P_0 \int_{0}^{\infty}  e^{-\frac{E}{kT}}  dE} = kT$$

Y este resultado aparece en (2) estando $\overline{E}$ en cada modo de oscilación. Esta energía es también la energía de las partículas en la pared pues hablar del medio es como hablar de la pared. En la próxima clase se continuara con la solución de Planck al problema de radiación de cuerpo negro.

Por ultimo el profesor subrayó que este tipo de problemas son los que otras ciencias no abordan  para desarrollar.

Referencias bibliograficas.

Eisberg, Resnick. (1974). Teória clásica de la cavidad radiante. Física cuántica, PP. 25-27. México-México D.F: Editorial Noriega.

Editador por: Alan Stiven Camacho Restrepo

Problema Radiación de Cuerpo Negro

 Considere la función:

(a) A partir de:

encuentre el valor promedio de x. (b) Suponga que la variable x es discreta en lugar de continua. Además, Δx=1, de manera que x solo toma valores enteros 0,1,2,...,10.Calcule x y compárelo con el resultado de la parte (a). (Sugerencia: Puede ser más fácil calcular la suma apropiada directamente, en lugar de trabajar con fórmulas generales de sumas)

Solución:

Teniendo en cuenta la definición de valor promedio de x: $$\bar x = \frac{\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx}{\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx}$$

Procedamos a encontrar el valor medio para la función continua $f(x)=\frac{1}{10}(10-x)^2$ para los valores en el intervalo $0 \leq x \leq 10$ y $f(x)=0$ para otros valores de $x$:

 $$\bar x = \frac{\int_{0}^{10}\frac{x}{10}(10-x)^2dx}{\int_{0}^{10}\frac{1}{10}(10-x)^2dx}=\frac{\int_{0}^{10}(100x-20x^2+x^3)dx}{\int_{0}^{10}(100-20x+x^2)dx}=\frac{15}{8}$$

Para el caso discreto se tiene que el valor promedio de x es: $$\bar x=\frac{\sum_0 ^{n}x_if(x_i)}{\sum_0 ^{n}f(x_i)}(1)$$

Calculando el valor de $\bar x$ utilizando $(1)$, se tiene:$$\bar x=2.14$$

La diferencia entre el resultado en el caso discreto y en el caso continuo es de 0.265

Clase 3. Efecto Compton y radiación de cuerpo negro.

Efecto Compton

Retomando el tema de la clase anterior, se continúa con la explicación del efecto Compton. En este efecto, la radiación se dispersa a partir de los electrones que se encuentran débilmente unidos en un material. 

Se supone un fotón con energía $E$ y momento $P$ que incide sobre un electrón en reposo con energía $m_ec^2$ , como se muestra en la figura1. A partir de la conservación de la energía y del momentum en este sistema, se tienen las ecuaciones:

                                                       $E+m_ec^2=E'+E_e$ [1]

$P=P_e cos \phi + P' cos \theta$  [2]

$0= P' sin \theta-P_{e} \sin \phi$  [3]

reorganizando las expresiones [2] y [3] se obtiene

$P_{e}cos \phi=P - P' cos\theta$ [4]

$P_{e}sin\phi = P' sin\theta$ [5]

Tomando el cuadrado de las expresiones [4] y [5] y sumando ambos términos se sigue que

$(P_e)^2 = (P-P'cos\theta)^2 + (P'sin\theta)^2 = $

$P^2 - 2PP' cos\theta + (P')^2 \cos^2 \theta + (P')^2\sin^2 \theta$

$P_e ^2=  P^2 -2PP'cos\theta + P'^2$ [6]

Por otro lado, se tiene la expresión de la energía relativista para el electrón

$E_e^2=P_e^2c^2+m_e^2c^4$ [7]

sustituyendo [1] y [6] en [7] se tiene la siguiente igualdad

$(E+m_e+C^2 - E')^2 = (P^2 -2PP'cos\theta + P'^2)c^2 + m_e^2c^4$

$E^2+2Em_ec^2+ m_e^2c^4- 2EE'-2m_ec^2E' + E'^2= (P^2 -2PP'cos\theta + P'^2)c^2 + m_e^2c^4$

$E^2+2Em_ec^2+ m_e^2c^4- 2EE'-2m_ec^2E' + E'^2=$

$ P^2c^2- 2PP'c^2 cos\theta + P'^2c^2+ m_e^2c^4 $

Teniendo en cuenta que el momento relativista se expresa como $P=E/c$ y sustituyendo en esta última expresión se sigue que

$E^2+2Em_ec^2+ m_e^2c^4- 2EE'-2m_ec^2E' + E'^2=$

$\frac{E^2}{c^2}c^2-2\frac{E}{c}\frac{E'}{c}c^2cos\theta+\frac{E'^2}{c^2}+m_e^2c^4$

$2Em_ec^2-2EE'-2m_ec^2E'=-2EE'cos\theta$

$Em_ec^2-EE'(1-cos\theta)-m_ec^2E'=0$

$m_ec^2(E-E')  = EE'(1-cos\theta)$

$\frac{E-E'}{EE'}= \frac{1}{m_ec^2}(1-cos\theta)$

$\frac{1}{E'}-\frac{1}{E}= \frac{1}{m_ec^2}(1-cos\theta)$

Finalmente, recordando que la energía del fotón se expresa como $E'= \frac{hc}{\lambda'}$, entonces esta última expresión puede escribirse como 

$\lambda '-\lambda =\frac{h}{m_ec}(1-cos\theta)$ [8]

Esta es entonces la ecuación que describe el efecto Compton. En [8] se identifica la llamada longitud de onda de Compton del electrón, con valor

$\frac{h}{m_ec} = 0.002426 nm$

 

Figura 1. Sistema propuesto. Dispersión de un fotón por un electrón [a].

La energía del fotón emitido es menor que la del que llega, y el resto de energía corresponde a la ganada por el electrón. Específicamente, el efecto Compton describe cuál es la longitud de onda resultante de un fotón que colisiona con un electrón libre (o cuasilibre). Si el electrón no es libre, sino que está ligado a un átomo, se puede deducir reemplazando la masa del electrón por la masa del átomo en [8] que el efecto es despreciable y la longitud de onda se mantiene.

Haciendo uso de un montaje como el de Bragg, se puede estudiar la intensidad de cada longitud de onda dependiendo del ángulo de salida de los fotones. De esta manera, se observa un pico de intensidad en $\lambda$ para un ángulo $\theta=0$, y se ven dos máximos de intensidad en $\lambda$ y $\lambda '$ cuando el ángulo es diferente.

Radiación de cuerpo negro

Al calentar objetos hasta cierta temperatura, empiezan a brillar, y se observa que al calentar distintos materiales a una misma temperatura, estos brillan con el mismo color, de donde se deduce que este fenómeno de emisión es independiente del material. Esta radiación se emite en todo el espectro a diferencia de otros fenómenos, por ejemplo, los gases calentados tienen un espectro de emisión en lineas (fig. 2), mientras que este fenómeno tiene un espectro continuo (fig.3).

 

Figura 2. Espectro de emisión del hidrógeno [b].

 

Figura 3. Espectro de emisión de un cuerpo negro [c].

Definiendo $e_f$ como la potencia emitida por un cuerpo por unidad de frecuencia por unidad de área, tenemos que $e_f=J(f,T) A_f$, donde $A_f$ es la fracción de potencia que absorbe el cuerpo por unidad de frecuencia por unidad de área. Un cuerpo negro es un cuerpo que absorbe toda la luz que le llega ($A_f=1$). Por ejemplo, el sol es aproximadamente un cuerpo negro (no refleja luz).

Para hacer un estudio de la radiación emitida por un cuerpo negro podemos considerar una caja con paredes conductoras y con un pequeño agujero por el cual entra luz y también sale luz pero en mucha menor proporción, lo que no afecta las condiciones internas, lo que quiere decir que esta luz que escapa es una buena muestra de la que hay atrapada. Considerando que la caja está en equilibrio termodinámico, el agujero se comporta como un cuerpo negro.

Con este montaje se deducen 2 leyes experimentales:

• La potencia total emitida por unidad de área por el agujero, es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura: 

$e_{Total}=\sigma T^4$     (2)

 

donde $\sigma$ es la constante de Stefan-Boltzmann y $e_{Total}=\int_0^{\inf} e_f \,df$

• Ley de desplazamiento de Wien: indica que el producto entre la temperatura y la longitud de onda con potencia máxima es una constante $\lambda_{max} T=2.9 \times 10^{-3} m\,K$.

Un ejemplo de implementación de estas leyes se puede dar con el sol. Analizando la potencia medida desde la tierra o la longitud de onda con mayor intensidad, se halla para cada ley que la temperatura del sol es aproximadamente 5800 K.

Para determinar $e_f=J(f,T)$, se tienen en consideración varias cosas adicionales, alguna de ellas son presentadas en esta clase, y otras se concluyen en la siguiente clase.

Considerando la luz que sale de la caja como un flujo de energía con una densidad volumétrica de energía asociada, hallamos que $J(f,T)=u(f,T) \frac{c}{4}$. Para determinar $u(f,T)$, analicemos una onda electromagnética entre dos paredes conductoras. Esta onda es una onda estacionaria y cumple que $\frac{n\lambda}{2}=L$, donde $n$ es el número de nodos de la onda y $L$ es la distancia entre las paredes. Por lo que,

$\Delta n=2L\left(\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}\right)$

$\to N(\lambda)  d\lambda=\frac{2L}{\lambda^2}d\lambda$    (3)

donde $N(\lambda)$ es el número de nodos por unidad de longitud de onda. La ecuación (3) se cumple en el caso unidimensional, para el caso tridimensional tenemos:

$N(\lambda)  d\lambda=\frac{8\pi V}{\lambda^4}d\lambda$

donde V es el volumen de la caja.

Finalmente, la última consideración clásica a tener en cuenta es que la energía promedio de cada onda es $E_{av}=kT$, donde $k$ es la constante de Boltzmann. Por tanto, la contribución de energía total es $E=NkT$. Estas consideraciones se explicarán con más detalle y se tendrán en cuenta en la próxima clase.

Revisado por: Juan Felipe Zapata, Valentina Pérez C. 

Aplicaciones industriales de la radiación de cuerpo negro

La radiación térmica juega un importante papel en la tecnología militar, fundamentalmente en dos aspectos: detección y reconocimiento de señales térmicas, y tecnologías furtivas. Por su bajo coste y ligereza, la localización pasiva por infrarrojos se ha convertido en el estándar de tecnología de guiado de misiles antiaéreos. Estos misiles tienen un detector de radiación térmica que busca señales de temperatura alta (motores de avión) y se dirige automáticamente a ellos. Para engañar a estos misiles se emplean recubrimientos con materiales de emisividad selectiva, que emitan mal en la región espectral correspondiente al máximo de emisión del avión. De esta forma, el avión emite menos radiación y es más probable que su señal térmica quede camuflada entre el ruido atmosférico. La razón de usar materiales con emisividad selectiva y no simplemente emisividad baja para todas las longitudes de onda es que, a grandes alturas, el aire es tan poco denso que los motores se refrigeran mal. Por tanto, es necesario tener una alta emisividad en longitudes de onda ’no sospechosas’ para evitar que se fundan los componentes del propio avión. [1]

Otro caso de relevancia para la industria de la aplicación del fenómeno expuesto es la pirometría, un método de midición de temperatura a partir de métodos ópticos. A nivel práctico, un pirómetro es un instrumento dotado con sensores sensibles a radiación electromagnética que es capaz de entregar información de la temperatura del material en cuestión, conocida su emisividad.

Este método de medición es especialmente útil en la industria metalúrgica y metalmecánica, donde se emplean materiales fundidos y es necesario contar con un seguimiento de su temperatura garantizando a su vez la integridad del personal y equipo al realizar las mediciones desde distancias seguras. La pirometría también es útil para medir la temperatura de objetos móviles, o en general de cualquier cuerpo que presente dificultades de manejo.

Referencias 

[a] Modern Physics 3rd ed. Krane. p. 88

[b] Wikimedia Commons. Extraído de: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Emission_spectrum-H.png

[c] Wikimedia Commons. Extraído de: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Black_body.svg

[1] https://iugm.es/wp-content/uploads/2018/05/TECNOLOG%C3%8DA-Y-DEFENSA-MILITAR-definitivo-ok.pdf