Problema Radiación de Cuerpo Negro

 Considere la función:

(a) A partir de:

encuentre el valor promedio de x. (b) Suponga que la variable x es discreta en lugar de continua. Además, Δx=1, de manera que x solo toma valores enteros 0,1,2,...,10.Calcule x y compárelo con el resultado de la parte (a). (Sugerencia: Puede ser más fácil calcular la suma apropiada directamente, en lugar de trabajar con fórmulas generales de sumas)

Solución:

Teniendo en cuenta la definición de valor promedio de x: $$\bar x = \frac{\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx}{\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx}$$

Procedamos a encontrar el valor medio para la función continua $f(x)=\frac{1}{10}(10-x)^2$ para los valores en el intervalo $0 \leq x \leq 10$ y $f(x)=0$ para otros valores de $x$:

 $$\bar x = \frac{\int_{0}^{10}\frac{x}{10}(10-x)^2dx}{\int_{0}^{10}\frac{1}{10}(10-x)^2dx}=\frac{\int_{0}^{10}(100x-20x^2+x^3)dx}{\int_{0}^{10}(100-20x+x^2)dx}=\frac{15}{8}$$

Para el caso discreto se tiene que el valor promedio de x es: $$\bar x=\frac{\sum_0 ^{n}x_if(x_i)}{\sum_0 ^{n}f(x_i)}(1)$$

Calculando el valor de $\bar x$ utilizando $(1)$, se tiene:$$\bar x=2.14$$

La diferencia entre el resultado en el caso discreto y en el caso continuo es de 0.265