Ejercicio clase 18

Ejercicio sobre los postulados de la mecánica cuántica.

Considere un sistema físico cuyo espacio de estados, el cual es tridimensional, es expandido por la base ortonormal $U = \{|u_{1}⟩ , |u_{2}⟩ , |u_{3}⟩\}$. En esta base, el operador Hamiltoniano $\hat{H}$ del sistema y los dos observables $\hat{A}$ y $\hat{B}$, están dados por:

$[\hat{H}]_{U} = \hbar  \omega_{0} \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{bmatrix}$

$\hat{A} = a \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}$

$\hat{B} = b \begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

donde $\omega_{0}$, $a$ y $b$ son constantes reales y positivas.

El sistema físico en el instante t = 0 esta dado por:

$ |\psi (0)⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} |u_{1}⟩ +  \frac{1}{2}|u_{2}⟩ + \frac{1}{2}|u_{3}⟩$

¿Qué resultados se obtienen si el observable $\hat{A}$ es medido en el tiempo $t$? ¿Qué resultados se obtienen si el observable $\hat{B}$ es medido en el tiempo $t$? 

Ejercicio clase 17

Elija entre los problemas 1 y 2 para solucionar y resuelva el problema 3.

1) Pruebe la identidad de Jacobi: $$[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0$$ 

2) Calcule la derivada respecto a $t$ del operador $ e^{At}$  donde $A$ es un operador y $t$ es un parámetro.

3) La matriz $\sigma_x$ está definida como: 

$$ \sigma_x= \begin{pmatrix}  0 & 1 \\ 1& 0 \end{pmatrix}$$

pruebe que: $$e^{i \alpha \sigma_x}=I cos\alpha +i \sigma_x sin \alpha$$ donde $I$ es la matriz identidad 2x2

Solución:

Clase 19. Continuación postulados de la mecánica cuántica

Continuando con la clase anterior, recordemos que veníamos analizando el 4° postulado. Este postulado tenía una forma para bases discretas y para bases continuas.

Generalmente se necesita más de una característica o propiedad para describir un sistema físico. En mecánica cuántica se da la particularidad de que cada uno de estos elementos están asociados con números u observables cuánticos. Limitarse a un observable da lugar a problemas, por ejemplo, el átomo de hidrógeno lo habíamos analizado de acuerdo con el modelo de Bohr: un átomo plano (con una sola componente de momento angular) e independiente del tiempo, pero en la realidad esto no funciona así, el átomo de Bohr falla para describir la aparición de múltiples niveles de energía al someter el átomo a un campo magnético. Estos niveles se pueden predecir mediante modelos más completos.

Analicemos la reducción del paquete de ondas. Un estado físico $|\psi⟩$  se entiende como una superposición de estados $|u_i⟩$, estos estados son los autovectores asociados a los autovalores de algún observable, de tal manera que:

 $$|\psi⟩=\sum c_i |u_i⟩$$

Al medir una magnitud física se obteniene alguno de los autovalores $a_i$ del observable asociado. Al repetir la medida un instante después se espera que no haya cambiado. Por otra parte, si nosotros tenemos el sistema listo para ser medido, podemos indicar unas probabilidades para cada autovalor posible, pero no se puede saber con certeza cuál será el resultado de la medida.

Las mediciones corresponden con proyecciones (tienen un operador proyección asociado), de tal manera que para obtener un $a_i$ lo que se hace es proyectar sobre el eje i. Si $a_i$ es degenerado, entonces tiene múltiples autoestados asociado, los cuales forman un subespacio de dimensión mayor a 1. Esto corresponde con el quinto postulado.

Quinto Postulado

Si en la medida de $A$ asociado con A de un sistema $|\psi⟩$ nos da $a_i$, entonces el estado del sistema inmediatamente después de la medida está dado por $P_i|\psi⟩=c_i |u_i⟩ $ y si normalizamos $\frac{P_i|\psi⟩}{⟨\psi|P_i|\psi⟩^{3/2}}$, donde $P_i$ es el operador proyección sobre el subespacio asociado con $a_i$.

Si denotamos como $|u_i~^j⟩$ a los autovectores asociados al autovalor degenerado $a_i$, y tomamos estos vectores normalizados, entonces el vector proyección viene dado por
$$P_i=\sum_{j=1}^n |u_i~^j⟩⟨u_i~^j| $$

También se puede definir para una base continua, pero no es relevante para el curso.

Teniendo en cuenta el proceso de medición (el cual es indispensable para que todo esto esté relacionado a un sistema físico más que ser solo teoría matemática) consideramos que la medición perturba el sistema de forma leve y no irremediable. Así, momentos después de hacer la medida, el sistema vuelve a su estado inicial en el cual se pueden extraer otras medidas al volver a medir.

Sexto Postulado Evolución temporal

La evolución temporal de un vector de estado $|\psi⟩$ está determinada por la ecuación de Schrödinger
$$ i\hbar\frac{d}{dt}|\psi(t)⟩=H(t)|\psi(t)⟩$$
donde $H(t)$ es el observable asociado con la energía total del sistema. $H(t)$ es usualmente el Hamiltoniano del sistema, el cual corresponda con la energía total en sistemas conservativos.

Clase 18. Continuación Postulados de la mecánica cuántica

    Capítulo 3. B-3 de Cohen- Tannoudji.

Recordando el tercer postulado que dice: El resultado de una medida física de la cantidad A solo puede ser un autovalor a_n del observable A.

Sin embargo, un sistema físico puede estar en una combinación lineal de autovectores

$|\Psi$⟩= $\sum_{k} C_{k}$ $|u_{k}$⟩

 

Dado que A es un observable, el conjunto de $|u_{k}$⟩, que consideraremos normalizado, constituye una base en $\varepsilon $, donde es claro que al cambiar de base el vector particular cambia. Entonces, al hacer una medida de A se obtendrá un a_n no necesariamente igual en cada observación, relacionado con el observable, ya que la condición es que sea alguno de los autovalores, mas no uno en particular. 

Así pues, es necesario ver como se conecta el estado físico |ψ⟩ con el resultado de cada medida individual. Para esto es necesario introducir el cuarto postulado:

Cuarto postulado: Cuando la cantidad física A es medida en un sistema en el estado $|\Psi$⟩ normalizado, la propabilidad P(a_n) de obtener el autovalor del observable correspondiente A es:

$P(a_{n})=$ |⟨$u_{n}$|ψ⟩| $^{2}$ 

Dónde | $u_{n}$⟩ es el autovector normalizado de A con autovalor $a_{n}$

Como ejemplo se da:

|ψ⟩ = $\frac{i}{2}$ |$u_{1}$⟩ + $\frac{i}{4}$|$u_{3}$⟩ + x|$u_{5}$⟩

Se sabe que por la condición de normalización |⟨ψ|ψ⟩| = 1, por lo que.
⟨$u_{1}$| -$\frac{i}{2}$ $\frac{i}{2}$| $u_{1}$⟩ + ⟨$u_{3}$| -$\frac{i}{4}$ $\frac{i}{4}$ |$u_{3}$⟩ + ⟨$u_{5}$| $\bar{x}$ $x$ |$u_{5}$⟩ = 1

Dando como resultado |x| = $\frac{\sqrt{11}}{4}$, así pues:

 |ψ⟩ = $\frac{i}{2}$ |$u_{1}$⟩ + $\frac{i}{4}$|$u_{3}$⟩ + $\frac{\sqrt{11}}{4}$  |$u_{5}$⟩

Al tomar la medida física de A se puede obtener uno de los posibles autovalores

A| $u_{k}$⟩  =  $a_{k}$| $u_{k}$⟩, sin embargo, de acuerdo al cuarto postulado, la probabilidad de obtener un determinado  $a_{k}$ (por ejemplo $a_{7}$ ) está asociado con el coeficiente con el que $u_{7}$ está representado en el vector de estado ψ, pero en este vector de estado el coeficiente es cero, por lo que no se puede obtener $a_{k}$ en las medidas que se hagan. En otras palabras, la probabilidad de obtener los $a_{1}$, $a_{3}$ y $a_{5}$ son diferentes de cero mientras que todas las demás son cero, ya que un estado físico no tiene por qué estar en todos los estados posibles. Por ejemplo:

$P(a_{1})=$ |⟨$u_{1}$|ψ⟩|$^{2}$ = |⟨$u_{1}$| $\frac{-i}{2}$$\frac{i}{2}$| $u_{1}$⟩|$^{2}$ = $\frac{1}{4}$

$P(a_{7})=$ |⟨$u_{7}$|ψ⟩|$^{2}$ = 0

La probabilidad, en general de:

$P(a_{l})$ = $\sum_{l}$ |⟨$u_{l}$|ψ⟩| $^{2}$ = $\sum_{l}$ |⟨$u_{l}$|$\sum_{k} C_{k}$ $|u_{k}$⟩| $^{2}$ =  $\sum_{l}$ |$C_{l}$| $^{2}$

Lo anterior, suponiendo que no hay degeneración. Así pues, no se puede concluir con una observación que la medida de A es $a_{n}$, se debe hacer infinitas medidas para obtener información confiable del estado del sistema |ψ⟩.

Caso degenerado:

En el caso degenerado se tienen n autovectores linealmente independientes del observable A con el mismo autovalor $a_j$, así:

A| $u_{j}^{k}$⟩  =  $a_{kj}$| $u_{j}^{k}$⟩ 

con $k=1,2,....,n$: degeneración del autovalor.

Entonces:

$|\Psi$⟩= $\sum_{n} \sum_{k = 1}^{n} C_{n}^{k}$ $|u_{n}^{k}$⟩

$P(a_{n})$ = $\sum_{k =1}^{n}$ |$C_{n}^{k}$| $^{2}$ = $\sum_{k =1}^{n}$ |⟨$u_{n}^{k}$|ψ⟩| $^{2}$

Si $a_{n}$ es el resultado de medir A entonces puede deberse a que cualquiera de los n autoestados asociados con $a_{n}$ está presente en la combinación lineal que describe el sistema |ψ⟩

Ejemplo:

|ψ⟩ es tal que al tomar una medida se obtiene $a_{1}$ de A , sin embargo $a_{1}$ tiene degeneración 2 con autoestados |$u_{1}^{1}$⟩, |$u_{1}^{-1}$⟩,  entonces ¿Cuál de los autoestados asociados con $a_1$ está presente en |ψ⟩?  La respuesta es que no se puede saber ya que puede ser cualquiera de los dos. Además, los dos autoestados pueden tener diferente probabilidad de manera de que los coeficientes que los acompañan sean diferentes; la degeneración entonces introduce esta nueva ambigüedad e incerteza.

Ahora, si se supone

 |ψ⟩ = $c_{0}$ |$u_{1}$⟩ + $c_{1}$|$u_{1}^{1}$⟩ + $c_{2}^{1}$  |$u_{2}^{1}$⟩ + $c_{2}^{2}$  |$u_{2}^{2}$⟩

Al medir A, entonces, se puede obtener $a_{0}$, $a_{1}$ o $a_{2}$. 

Como 

$P(a_{n})$ = $\sum_{k =1}^{n}$ |$C_{n}^{k}$| $^{2}$

entonces la probabilidad de $a_{0}$ es como en el caso de no degeneración, sin embargo si se obtuvo $a_{1}$ se pudo haber obtenido |$u_{1}^{-1}$⟩ o |$u_{1}^{1}$⟩, pero como, según  |ψ⟩, $C_{1}^{-1}=0$, entonces $P(a_1)$ = |$C_{1}^{1}$| $^{2}$

Caso continuo no degenerado:

Ahora supongamos que el espectro de A es continuo y, en aras de la simplicidad, no degenerado. El sistema, ortonormal en el sentido extendido, de vectores propios |$v_{\alpha}$⟩ de A: A| $v_{\alpha}$⟩  =  $\alpha$| $v_{\alpha}$⟩ forma una base continua en $\varepsilon $, expandiendo entonces  |ψ⟩:

 |ψ⟩ = $\int d\alpha c(\alpha)$ |$v_{\alpha}$⟩ 

Así pues, el resultado de la medida de la cantidad A puede ser definida como una densidad de probabilidad y la probabilidad de obtener $dP(\alpha)$ de obtener valores entre $\alpha$ y  $\alpha + d\alpha$ está dado por:

$dP(\alpha)$ = $\rho (\alpha)d\alpha$ con $\rho (\alpha)$ = $|c(\alpha)|^{2}$ =  |⟨$v_{\alpha}$|ψ⟩| $^{2}$

entonces

$P(\alpha)$ =  $\int d\alpha$  |⟨$v_{\alpha}$|ψ⟩| $^{2}$

Editado por: Paula Manuela Leguizamón.

Clase 17. Álgebra de operadores y postulados de la mecánica cuántica

 Álgebra de operadores 

Cuando se habla del álgebra de operadores, se hace referencia a como se comportan los conmutadores de estos. La importancia de este análisis recae en que permite establecer cual es el conjunto completo de los observables que conmutan y por lo tanto cuales son los autovalores que son importantes para estudiar un sistema. Estos autovalores suelen llamarse números cuánticos. 

Para esto se han de tener presentes algunas de las propiedades de los conmutadores:

• $[A,B]=-[B,A]$
• $[A,\alpha B+C]=\alpha[A,B]+[A,C]$
• $[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]$
• $[A,B]^{\dagger}=[A^{\dagger},B^{\dagger}]$

También se tiene la identidad de Jacobi: $$[A,[B,C]]+[C,[A,B]]+[B,[C,A]]=0$$

Con los operadores se pueden construir funciones como "polinomios" y funciones exponenciales mediante expansiones de Taylor. Por ejemplo para un operador $A$ se puede escribir: 

$$P(A)=a_nA^n+a_{n-1}A^{n-1}+...+a_0$$

$$f(A)=e^A=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^n}{n!}=I+A+\frac{A^2}{2!}+...$$

Si $e^A$ se dejara actuar sobre un vector $| \varphi \rangle$ se obtendría:

 $$e^A| \varphi \rangle=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^n}{n!}| \varphi \rangle=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^n}{n!}| \varphi \rangle=e^a| \varphi \rangle$$

Donde $a$ sería un autovalor del operador $A$. 

También pueden realizarse aproximaciones mediante estas expansiones, por ejemplo para un $\lambda \leqslant 1$  se puede tener una aproximación del tipo: 

$$e^{\lambda A}\approx I + \lambda A$$

Un punto importante a tener en cuenta es que si $[A+B]\neq 0$, entonces $ e^A e^B\neq e^{A+B}$. puesto que en la multiplicación de operadores el orden es relevante. 

En la mecánica cuántica los operadores pueden depender de algún parámetro, generalmente este parámetro es el tiempo. Entonces para un operador $A(t)$ es posible seguir utilizando la definición tradicional de la derivada temporal tal que $\dot A=\frac{dA}{dt}$. Esta derivación con respecto a $t$ es distinta por ejemplo a la derivada parcial con respecto al tiempo pues mientras $t$ es un parámetro $\frac{\partial}{\partial x}$ es un operador.

Dentro de la mecánica cuántica se toma a $t$ como un parámetro no relativista, esto quiere decir que se trabaja en un espacio $\mathbb{R}^3+\mathbb{R}$, donde $ \mathbb{R}^3$ hace referencia a las coordenadas espaciales y  $\mathbb{R}$ hace referencia al tiempo que se toma como un parámetro escalar y que no tiene efectos relativistas, es decir, no se mezcla con las coordenadas espaciales. 

Postulados de la mecánica cuántica 

La mecánica cuántica toma elementos de la mecánica clásica como el Hamiltoniano, el Lagrangiano y la teoría de Jacobi. A partir de ellas se construye una teoría adaptada a la cuántica

1. Primer postulado

En un tiempo $t_o$ el estado de un sistema está definido por un ket $| \varphi (t_o) \rangle$  $\epsilon$ $\varepsilon$, donde  $\varepsilon$ es un espacio de estados.

2. Segundo postulado

 Cada cantidad física medible $\mathbb{A}$, es descrita por un operador $A$ en $\varepsilon$, $A$  es un observable. Es decir, existe un relación entre medible y ser un observable, recordando que un     observable es un operador hermítico con raíces reales. Las cantidades físicas determinan las bases de $\varepsilon$ que se van a usar, puesto que los operadores relacionados a ellas dan una base completa para $\varepsilon$. Por ejemplo el la posición $x$ está relacionada con el operador $\chi$ que a su vez está relacionado con la base $\xi _{r_o}(r)\to | r_o \rangle$.

3. Tercer postulado

El único posible resultado de la medida de una cantidad física $\mathbb{A}$ es uno de los autovalores de su observable asociado $A$. De esta manera, cada vez que se hace la medida de una cantidad física, se obtendrá uno de los autovalores del operador, que como se vio previamente son reales. Entonces si se tiene un sistema $\varphi$ y se está midiendo una cantidad física $\mathbb{A}$ asociada a un operador $A$, se va a obtener el valor real $a$ tal que $$A|\varphi\rangle=a|\varphi\rangle$$.

Si se realizaran dos medidas en un sistema con exactamente la misma configuración, se pueden obtener valores diferentes $a$ y $a'$, sin embargo estos van a ser autovalores del operador asociado a la cantidad medida. 

4.Cuarto postulado: Descomposición espectral 

Un operador determina una base en el espacio de estados $A\to | u_i\rangle$, de modo que un estado $|\varphi\rangle$ puede ser escrito como la combinación lineal de esta base $|\varphi\rangle=\sum C_i |u_i\rangle$.

Si tenemos el operador $A$ actuando sobre elementos de la base se tendría $$A| u_i\rangle=a_i| u_i\rangle$$

 De este modo $A$ actuando sobre un estado  $|\varphi\rangle$ sería: $$A|\varphi\rangle=\sum C_i A|u_i\rangle$$ $$A|\varphi\rangle=\sum C_i a_i|u_i\rangle$$

Los coeficientes $C_i$ están relacionados con la probabilidad de obtener un autovalor al hacer una medida. La probabilidad de obtener uno de los autovalores está dada por: 

$$P(a_n)=|\langle u_n|\varphi \rangle|^2$$

Ejercicio clase 16

 Ejercicio clase 16 - 10 agosto

Considere los siguientes operadores $\hat{p}_x$, $\hat{p}_y$ y $\hat{x}$. Además sea $V(x,y,z)$ un potencial cualquiera y las siguientes funciones:

$\psi_1=A\sin (kx)$

$\psi_2=A\sin (kx)-A\cos (kx)$

$\psi_3=A\cos (kx) + iA\cos (kx)$

$\psi_4=Ae^{ik(x-a)}$

    1. Evalúa los siguientes conmutadores:

            a. $[\hat{x},\hat{p}_x]$

            b. $[\hat{x},\hat{p}_x^2]$

            c. $[\hat{x},\hat{p}_y]$

            d. $[\hat{x},V(x,y,z)]$

    2. ¿Cuál de las funciones $\psi_i$ son funciones propias del operador de momento $\hat{p}_x$? 

    3. Para las funciones propias halladas en el numeral anterior, ¿Cuáles son los valores propios?