Ejercicio clase 18

Ejercicio sobre los postulados de la mecánica cuántica.

Considere un sistema físico cuyo espacio de estados, el cual es tridimensional, es expandido por la base ortonormal $U = \{|u_{1}⟩ , |u_{2}⟩ , |u_{3}⟩\}$. En esta base, el operador Hamiltoniano $\hat{H}$ del sistema y los dos observables $\hat{A}$ y $\hat{B}$, están dados por:

$[\hat{H}]_{U} = \hbar  \omega_{0} \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{bmatrix}$

$\hat{A} = a \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}$

$\hat{B} = b \begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

donde $\omega_{0}$, $a$ y $b$ son constantes reales y positivas.

El sistema físico en el instante t = 0 esta dado por:

$ |\psi (0)⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} |u_{1}⟩ +  \frac{1}{2}|u_{2}⟩ + \frac{1}{2}|u_{3}⟩$

¿Qué resultados se obtienen si el observable $\hat{A}$ es medido en el tiempo $t$? ¿Qué resultados se obtienen si el observable $\hat{B}$ es medido en el tiempo $t$?