Clase 21: Implicaciones físicas de la ecuación de Schrodinger.

Principio de indeterminación de Schrodinger: 

También llamado primera regla de cuantización.

Sea dos observables $A$, $B$, tal que $[A,B]=i C$ con $C$ observable, entonces $\Delta A \Delta B \; \geq |1/2 \langle C \rangle| $.

En particular si $[A,B]=i \hbar$ entonces:  $$\Delta A \Delta B \; \geq \hbar/2 $$

Demostración para el caso de los observables $X$,$P$:

Sea un estado $| \varphi \rangle = (X+i \lambda P) | \psi \rangle  $ donde $\lambda \in  \mathbb{R} $

Ahora:   $\langle \varphi | \varphi \rangle =  \langle \psi | (X-i \lambda P)  (X+i \lambda P) | \psi \rangle =  \langle \psi | X^2|\psi \rangle + \lambda \langle \psi | P^2 |\psi \rangle + i \lambda \langle \psi |XP-PX |\psi \rangle $.

$\langle \varphi | \varphi \rangle = \langle X^2 \rangle+\lambda^2 \langle P^2 \rangle +i \lambda \langle [X,P] \rangle$

y como $[X,P]=i \hbar$ entonces $\langle \varphi | \varphi \rangle = \langle X^2 \rangle+\lambda^2 \langle P^2 \rangle -\lambda \hbar \geq 0 $ puesto que $ | \varphi \rangle $  es un estado físico.

La cual es un polinomio de segundo orden en la variable $\lambda$, ya que este siempre es mayor o igual a cero todas sus raíces deben ser complejas. Reescribiéndola ci$f(\lambda)=  \lambda^2 \langle P^2 \rangle - \lambda \hbar + \langle X^2 \rangle$ tenemos que el discriminante de esta ecuación debe de ser $ \hbar^2-4  \langle P^2 \rangle  \langle X^2 \rangle \leq 0$ para que todas las raíces sean complejas, de esta manera se obtiene: $$ \langle X^2 \rangle  \langle  P^2 \rangle \geq \hbar^2/4$$.

Ahora, sean los operadores $P´=P- \langle P^2 \rangle$, $X´=X- \langle X^2 \rangle$ los cuales siguen cumpliendo la ecuación anterior pues solamente se realizó una resta por un escalar.

Se puede probar que $\Delta P= \langle P´^2 \rangle ^{1/2}$, $\Delta X= \langle X´^2 \rangle ^{1/2}$ de tal manera que si remplazamos en la expresión anterior $P'$, $X'$ se llega a: $$\langle \Delta X \rangle  \langle \Delta P\rangle \geq \hbar/2 $$

La cual es la relación de indeterminación de Schrodinger, una expresión que delimita el conocimiento de cantidades físicas en un mismo experimento.

Algunos comentarios

Si dos observables conmutan, lo cual significa que los autoestados de uno son autoestados del otro, al realizar una medida de a un sistema $|\psi \rangle$  con el observable $A$ obtengo $A|\psi \rangle=a_1 |a_1 \rangle$. al realizar una siguiente medida con el observable $B$ obtengo de nuevo $|a_1 \rangle$ puesto que los observables poseen autoestados compartidos de tal manera que puede conocer exactamente los autovalores de los dos observables simultáneamente ya que si un sistema se encuentra en un autaestado de $A$ también se encuentra en un autoestado de $B$ si estos conmutan.

Si dos observables no conmutan entonces al momento de realizar una medición con el observable $A$, $A|\psi \rangle=a_1 |a_1 \rangle$ y al realizar una siguiente medición con el observable $B$, $B|a_1 \rangle$ el resultado será una combinación lineal de los autoestados de $B$, de tal manera de que no se obtendrá de nuevo $|a_1 \rangle$ sino algunos autoestados de $| b_i\rangle$ con alguna probabilidad es decir, no obtenemos un autoestado exacto como en el caso anterior, por tanto no podemos conocer exactamente el autovalor asociado a la medición de B si conocemos el autovalor de $A$.

Si $|\psi_1 \rangle$ y $|\psi_2 \rangle$ son soluciones linealmente independientes a la ecuación de Schrodinger entonces  $|\psi \rangle = \lambda |\psi_1 \rangle +|\psi_2 \rangle$ también es solución a la ecuación de Schrodinger, de tal manera que el principio de superposición se cumple para los estados de un sistema.

La probabilidad de que un sistema se encuentre en un estado $|\psi \rangle$ se puede representar como $P(|\psi \rangle) $ que está asociada a $\langle \psi | \psi \rangle \sim \lambda^2\langle \psi_1 | \psi_1 \rangle + \langle \psi_2 | \psi_2 \rangle+ \lambda^*\langle \psi_1 | \psi_2 \rangle +\lambda \langle \psi_2 | \psi_1 \rangle$ donde $\langle \psi_1 | \psi_1 \rangle$ está asociado a la probabilidad del estado $ | \psi_1 \rangle$ ,  $\langle \psi_2 | \psi_2 \rangle$ está asociado a la probabilidad del estado  $ | \psi_2 \rangle$ y los términos $\lambda^*\langle \psi_1 | \psi_2 \rangle$, $\lambda \langle \psi_2 | \psi_1 \rangle$ son términos de interferencia. Por tanto podemos observa que la probabilidad de la suma de dos estados en general no es la suma individual de cada estado, sino que se debe de tener en cuenta el término de interferencia.

Conservación de probabilidad

queremos estudiar como evoluciona temporalmente la probabilidad, por tanto:

$$ \frac{d}{dt} \langle \psi | \psi \rangle = \frac{d \langle \psi |}{dt} | \psi \rangle  +\langle \psi |\frac{d | \psi \rangle}{dt}   $$ y usando el sexto postulado o la ecuación de Schrodinger: $i \hbar\frac{d  | \psi \rangle}{dt}=H(t)  | \psi \rangle$ y como $H$ es hermítico  $-i \hbar\frac{d  |  \langle \psi |}{dt}= \langle \psi | H(t) $ por tanto podemos usar esta ecuación para remplazar los términos dependientes de la derivada temporal así la expresión se transforma a $\frac{1}{i\hbar}[-\langle \psi |H(t) |\psi \rangle +\langle \psi | H(t)|\psi \rangle]=0$ por tanto: $$  \frac{d}{dt} \langle \psi | \psi \rangle=0$$ 

lo que implica que en un sistema debidamente normalizado la normalización es constante en el tiempo.

Si expresamos esta relación en el espacio de funciones $$\frac{d}{dt} \int d^3r \psi^*(r ,t) \psi(r,t)=0$$ Por tanto, si conozco esta expresión en un tiempo $t_0$ la conoceré para cualquier t pues la probabilidad se conserva temporalmente. 

Conservación local de la probabilidad-densidad de corriente de probabilidad

Con la intuición ganada en los ejercicios de pozos de potenciales, ya que la función de onda toma una valor diferente en cada punto del espacio, se puede tratar como un fluido y asociarle una corriente de densidad de probabilidad  $\rho=| \psi |^2$ resultado de una corriente de materia, fotones, etc.

Las partículas poseen cierta velocidad, que está asociada con el momento, de esta manera podemos definir una corriente:

Utilizando la ecuación de Schrödinger en el espacio de las posiciones podemos encontrar la evolución temporal de $\psi(r,t)$

 $i \hbar \frac{\partial \psi(r,t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(r,t)+V(r)\psi(r,t)$, 

Ahora conjugando y multiplicando por $\psi$ la ecuación anterior teniendo en cuenta la hermiticidad del Hamiltoniano y suponiendo potenciales reales:

 $-i \hbar \psi \frac{\partial \psi(r,t)^*}{\partial t}=-\psi \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(r,t)^*+V(r)\psi \psi(r,t)^*$, 

y multiplicando la ecuación  de Schrödinger por $\psi^*$

 $i\hbar \psi^* \frac{\partial \psi(r,t)}{\partial t}=-\psi^* \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(r,t)+V(r)\psi^* \psi(r,t)$

restando estas dos ecuaciones se encuentra:

 $i \hbar \frac{\partial (\psi \psi^*) }{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}( \psi^* \nabla^2 \psi -\psi \nabla^2 \psi^* ) $,

y usando la identidad de Green :

 $\nabla \cdot (f \nabla g)=\nabla f \cdot \nabla g+f \nabla^2 g $,

 $\nabla \cdot (g \nabla f)=\nabla g \cdot \nabla f+g \nabla^2 f $ 

entonces $\nabla \cdot (f \nabla g-g \nabla f)= f \nabla^2g-g \nabla^2 f $ y definiendo  $\vec{J}=\frac{\hbar^2}{2mi}( \psi^* \nabla \psi -\psi \nabla \psi^* ) $ como la densidad volumétrica de corriente de probabilidad obtenemos la ecuación de continuidad conocida en mecánica de fluidos: $$ \frac{\partial }{\partial t} \rho (r,t)=-\nabla \cdot \vec{J}$$ con $\rho(r,t)=\psi \psi^*=|\psi|^2$, $\vec{J}=\frac{\hbar}{m}Re[  \psi^* \frac{\hbar}{i} \nabla \psi ]$.

Por tanto podemos concluir que la distribución de probabilidad cumple una ecuación de continuidad, el cual es un resultado de la causalidad ya que si algo fluye hacia dentro o hacia afuera es porque hubo un cambio temporal en la densidad.

Evolución temporal de un observable $A$ asociado a una cantidad física $\mathcal{A}$

Sea la cantidad física $\mathcal{A}=\mathcal{A(t)}$ queremos responder a la pregunta de como es el cambio temporal del observable asociado $A$.

Consideramos: $$  \langle A \rangle (t)=  \langle \psi(t) | A(t) | \psi(t) \rangle $$ 

Nota:  $ \langle A \rangle (t) \neq \langle A(t) \rangle$ puesto que $\langle A(t) \rangle= \langle \psi | A(t) | \psi \rangle$ i.e los estados $ |\psi \rangle$ no poseen dependencia temporal.

estudiando la dependencia temporal de $\langle A \rangle (t)$, $\frac{d}{dt}  \langle \psi(t) | A(t) | \psi(t) \rangle = \frac{d \langle \psi |}{dt}| A | \psi \rangle  +\langle \psi | A |\frac{d | \psi \rangle}{dt} +  \langle \psi | \frac{\partial A}{\partial t}  |\psi \rangle$ y usando la ecuación de Schrödinger para remplazar la derivada temporal se obtiene:

 $$ \frac{d}{dt}  \langle A \rangle (t)=\frac{1}{i \hbar} \langle [A,H] \rangle +\langle \psi | \frac{\partial A}{\partial t}  |\psi \rangle$$ el cual es llamado Teorema de Ehrenfest.

Si consideramos que $A$ no depende explícitamente del tiempo y que $A$ conmuta con $H$ i.e $[A,H]=0$ entonces encontramos que $ \frac{d}{dt}  \langle A \rangle (t)=0$ lo que se traduce en que $A$ es una constante de movimiento en el problema.

Ejemplos:

$\frac{d}{dt} \langle X \rangle =\frac{1}{i \hbar} \langle [X,H] \rangle$ con $H=\frac{P^2}{2m}+V(X)$. $[X,V(X)]=0$ ya que $V(X)$  es una función exclusiva de $X$. $[X,P^2]= i \hbar P$ entonces:

$$\frac{d}{dt} \langle X \rangle =\frac{1}{i \hbar} \frac{i \hbar}{m} P =\frac{P}{m}$$ la cual es una expresión que recuerda a la física clásica ya que clásicamente $\frac{\vec{p}}{m}=\vec{v}$.

También se puede demostrar que:  $$\frac{d}{dt} \langle P \rangle=  - \langle \nabla V(X) \rangle$$ la cual es una expresión que también recuerda a la mecánica clásica pues $\frac{dp}{dt}= - \nabla V=\vec{F}$.

Comentario por: Sofía Idárraga M.

Muy buen resumen, queda clara la explicación que se dio en los casos de conmutación y no conmutación.

Algo interesante que se mencionó es que el término de “primera cuantización” ya no es muy utilizado, y se hace, en particular, cuando A es alguna variable generalizada Q y B es el momento canónico conjugado, entonces la cuantización canónica, es un procedimiento informal que asigna a una magnitud física (expresable en términos de las coordenadas canónicas del sistema clásico), un operador obtenido por sustitución directa de las variables canónicas por operadores hermíticos Pi y Qi que satisfacen las relaciones [Qi,Pi] = ih/2π, [Qi,Qj] = 0, [Pi,Pj] = 0 y [Qi,Pj] = 0.

Por otro lado, cabe resaltar un análisis que se realizó sobre la naturaleza cuántica estocástica donde en muchas circunstancias \delta A es 0 solo si la medida de la cantidad física A arroja algún autovalor, en principio, solo se obtiene ese valor con cierta probabilidad, pero por otro lado, el problema del laboratorio tiene naturaleza estadística y se tiene muchas fuentes de error y de imprecisión, haciendo que las fuentes sean diferentes al de la naturaleza cuántica estocástica y teórica, por lo que la medida de la cantidad física A sea a1 + \delta a1 en el laboratorio, siendo al fin un problema de análisis de datos. Así pues, en el laboratorio solo se puede aceptar resultados con cierta probabilidad.