Ejercicio clase 21

Calcule $\frac{d< \hat{T}>}{dt}$, donde $\hat{T}$ representa el operador de energía cinética, para un sistema cuántico conservativo. Tenga presente que como es un sistema conservativo, la fuerza aplicada está dada por $F=-\nabla V$.

Solución por Michelle Mora:

Por el Teorema de Ehrenfest: $\frac{d< \hat{T}>}{dt}=\frac{1}{i\hbar}<[\hat{T},\hat{H}]>+\left \langle \frac{\partial \hat{T}}{\partial t} \right \rangle$. Como $\hat{T}$ no depende del tiempo el último término será 0 y teniendo que $\hat{H}=\hat{T}+\hat{V}(\hat{x})$:

$$\frac{d< \hat{T}>}{dt}=\frac{1}{i\hbar}<[\hat{T},\hat{T}+\hat{V(x)}]>$$

$$\frac{d< \hat{T}>}{dt}=\frac{1}{i\hbar}<[\hat{T},\hat{T}]+[\hat{T},\hat{V(x)}]>$$

Como $[\hat{T},\hat{T}]=0$ y $\hat{T}=\hat{P}^2/2m$:

$$\frac{d< \hat{T}>}{dt}=\frac{1}{i\hbar 2m}<[\hat{P}^2,\hat{V(x)}]>$$

$$\frac{d< \hat{T}>}{dt}=\frac{1}{i\hbar 2m}<\hat{P}[\hat{P},\hat{V(x)}]+[\hat{P},\hat{V(x)}]\hat{P}>$$

Usando la propiedad $[\hat{P},f(\hat{x})]=-i\hbar\frac{\partial f}{\partial x}$:

$$\frac{d< \hat{T}>}{dt}=-\frac{i\hbar}{i\hbar 2m}<\hat{P}\triangledown V+\triangledown V\hat{P}>$$

Por la definición de Fuerza tendremos entonces finalmente:

$$\boxed{\frac{d< \hat{T}>}{dt}=\frac{1}{2m}<\hat{P}\hat{F}+\hat{F}\hat{P}>}$$