Clase 6: Líneas espectrales y modelos atómicos

 

Una clave de la teoría de la estructura atómica fue la predicción del espectro de radiación electromagnética emitida por ciertos átomos. Por esto, la idea del fenómeno de ionización tras descargas eléctricas y la aparición de espectros con un conjunto de líneas discretas ordenadas de acuerdo con su longitud de onda, fue bastante estudiada y se establecieron ciertos mecanismos o instrumentos para medir esos espectros.

La siguiente imagen muestra una composición de equipos hecha para observar los espectros de emisión. Aquí la fuente consiste en una descarga eléctrica a través de una región con un gas monoatómico, donde debido a las colisiones entre electrones, algunos átomos adquieren más energía y la ceden emitiendo radiación electromagnética. Esta radiación es luego colimada por una rendija, pasa a través de un prisma o rejilla de difracción y finalmente se obtiene cada longitud de onda individualmente reconstruyendo así el espectro en una placa fotográfica o pantalla.

Figura 1: Esquema de una composición de instrumentos para medir el espectro.

Dado que cada tipo de átomo tiene su propio espectro característico, este último se vuelve muy útil para el análisis químico; se vuelve una forma de identificar la composición química de cuerpos tan importantes como por ejemplo el Sol. De aquí que se estudiara más a fondo una posible regularidad en la aparición de las líneas espectrales asociadas a un elemento en particular y se obtuvieran algunas series de estas líneas:

• Líneas o series de Balmer: Tras analizar la separación en longitudes de onda de líneas adyacentes del espectro del Hidrógeno, la     cual decrece a medida que disminuye la longitud de onda de las líneas hasta que el conjunto de ellas converge hacia un límite a 364.56 nm (correspondiente al rango Ultravioleta), Balmer descubrió en 1885 la siguiente fórmula empírica que representa la longitud de onda de las líneas espectrales observadas

    $\lambda=364.56 \frac{n^2}{n^2-4}$

para n>2. Con esta fórmula para cada valor de n se obtenía entonces una línea del espectro del Hidrógeno. Así, con n=3 (transición del nivel 3 al 2) se tiene la línea $H_\alpha$ correspondiente a $\lambda=656.3 nm$, con n=4 (transición del nivel 4 al 2) se tiene la línea $H_\beta$ correspondiente a $\lambda=486.1 nm$, con n=5 (transición del nivel 5 al 2) se tiene la línea $H_\gamma$ correspondiente a $\lambda=434.1 nm$, etc.

• Líneas o series de Lyman:  Análogo a lo ya mencionado para las líneas de Balmer, pero esta vez a raíz del estudio del espectro ultravioleta del Hidrógeno, aparecen las líneas de Lyman teniendo como nivel de energía de referencia el n=1

De intentar encontrar una fórmula para ligar las distintas líneas de emisión, aparece la fórmula de Rydberg (1890) que adquiere distintas versiones para generar diferentes series de líneas o también la siguiente fórmula

$\lambda=\lambda_o\frac{n^2}{n^2-n_o^2}$

donde $\lambda_o$ es la longitud de onda asociada al límite de cada serie, $n_o$ es el nivel de referencia para cada serie y $n=n_o+1,n_o+2,…$ se refiere al nivel de transición. De esta forma se obtienen las series de Balmer con $n_o=2$, las series de Lyman con $n_o=1$, las de Paschen con $n_o=3$, Brackett con $n_o=4$ y Pfund con $n_o=5$, que se pueden observar en particular para el espectro del Hidrógeno en la siguiente figura.

Figura 2: Series de líneas espectrales del Hidrógeno.

Ahora, para responder a la pregunta sobre cómo es la distribución de las cargas positivas y negativas dentro del átomo y qué dentro de esa estructura puede dar lugar a las líneas espectrales, resultaron algunos modelos atómicos:

• Modelo de Thomson:

Thomson (1904) propone un modelo en el que los electrones están localizados dentro de una distribución continua de carga positiva asumida como una esfera con un radio del orden de magnitud del radio atómico ($10^{-10} m$), por lo que debido a la repulsión mutua los electrones estarían uniformemente distribuidos a través de esta esfera (figura 3). La existencia de igual carga positiva y negativa es lo que hace a los átomos neutros y los mantiene estables.

Figura 3: Modelo del átomo de Thomson.

    La fuerza eléctrica será mucho mayor a la fuerza gravitacional en este caso. Si despreciamos esta última, de la teoría electromagnética, asumiremos una densidad de carga $\rho$ constante, se toma la Ley de Gauss, se calcula la fuerza eléctrica experimentada y se asume que los electrones tienen cierta facilidad para moverse, se puede encontrar que esta fuerza los lleva a moverse como un oscilador armónico simple a lo largo del diámetro de la esfera y se puede entonces calcular la frecuencia de oscilación debida a ese movimiento y por ende la frecuencia con la que emitirían por estar siendo acelerados los electrones. De esta manera, este modelo ayudaba a comprender cualitativamente la emisión de radiación por átomos excitados, pero cuantitativamente no concordaba con los espectros observados experimentalmente pues la frecuencia de oscilación estimada no coincidía con la frecuencia de emisión que se observaba por ejemplo en las líneas de Balmer.

Ante estas inconsistencias del modelo de Thomson, Rutherford (estudiante de Thomson) en 1911 a partir del análisis de experimentos de dispersión de partículas $\alpha$, mostró que la carga positiva se encontraba en una pequeña región (núcleo) en el centro del átomo, en vez de extenderse por todo este.

Este proceso de poner a prueba el modelo de Thomson consistió en un montaje que tenía una fuente que emitía partículas $\alpha$ (átomos de He doblemente ionizados con carga |2e|) que se hacían pasar por un par de diafragmas para colimarlas en un haz paralelo. Este haz se hacía incidir sobre una lámina delgada de alguna sustancia, usualmente un metal, dentro de la cual cada partícula experimentaba pequeñas deflexiones producto de la fuerza de Coulomb actuando entre su carga y las cargas de los átomos de la lámina, que al final hacían que el haz saliera de ésta no como un haz paralelo sino como uno divergente. Internamente esto se podría representar con la siguiente figura

Figura 4: Dispersión de las partículas dentro de una lámina delgada.

donde la lámina cuenta con cierto número de átomos N por unidad de volumen dada la densidad del material.  Ahora, tomando que las partículas $\alpha$, que tienen carga positiva igual a 2e, inciden en un átomo de radio R con una carga positiva uniforme igual a Ze (donde Z es el número atómico), de acuerdo a la figura 3 la fuerza sobre la partícula a una distancia r del centro estará dada por

$F=\frac{2Ze^2}{4\pi\epsilon_oR^3}r$

Teniendo en cuenta que de la segunda ley de Newton

$F=\frac{\Delta P}{\Delta t}$

y que de la geometría de la figura 5 el átomo ejerce una fuerza en la dirección $y$ que produce una componente del momentum en esa dirección tal que $\tan{\theta}=p_y/p_x$, y bajo la estimación de que $r=R/2$ se puede aproximar que

$p_y\approx F\Delta t \approx \frac{2Ze^2(R/2)}{4\pi\epsilon_oR^3}\frac{R}{v}=\frac{2Ze^2}{8\pi\epsilon_oRv}$

Figura 5: Trayectoria de una partícula $\alpha$.

Ahora, bajo la aproximación de ángulos pequeños es cierto que $\tan{\theta}\approx\theta$ así que

$\tan{\theta}\approx\theta=\frac{p_y}{p_x}=\frac{p_y}{mv}=\frac{2Ze^2}{8\pi\epsilon_oRv}\frac{1}{mv}=\frac{2Ze^2}{16\pi\epsilon_o RE_k}$

donde $E_k$ es la energía cinética. De esta manera, asumiendo una lámina de oro (Z=79, R=0.179 nm) y una energía cinética de 3MeV se obtiene que el ángulo de dispersión o desviación promedio $\theta_{av}$ es

$\theta_{av}=\frac{1}{4}\frac{e^2}{4\pi\epsilon_o}\frac{(2)(79)}{(0.179)(3\times10^6)}=1.06\times10^{-4}rad\approx 1\times 10^{-4}rad$

lo que corresponde a un valor muy pequeño para la desviación esperada producto de la interacción. Además, retomando la idea de que en la lámina hay cierto número N de átomos, el ángulo total de desviación estará determinado por un tratamiento estadístico pues puede haber ángulos más grandes o pequeños, de manera que

$\theta_{desv}\approx \theta_{av}\sqrt{N}$

y de analizar la fracción de partículas que llegaban al detector como función de $\theta$ y $r$ y para diferentes energías cinéticas de las partículas, se llegó experimentalmente a valores de $\theta_{desv}$ muy grandes que no se podían explicar con el modelo de Thomson.

• Modelo de Rutherford:

Del resultado antes mencionado, Rutherford concluye que la forma más probable de obtener esos ángulos grandes es tras una colisión con un objeto más masivo, por lo que propone entonces en su modelo que la masa y la carga positiva del átomo no están distribuidas uniformemente sobre el volumen del átomo, sino que están concentradas en una región pequeña en el centro de éste llamada núcleo.

Bajo este caso las desviaciones pueden estar dadas como en la siguiente figura

Figura 6: Dispersión en el átomo de Rutherford; las trayectorias son hipérbolas.

donde b se conoce como el parámetro de impacto, y suponiendo que las partículas no cruzan el interior del núcleo e interacciones inelásticas, la fuerza de Coulomb (responsable de la desviación) estará dada por

$F=\frac{2Ze^2}{4\pi\epsilon_o r^2}$

y a partir de allí se puede encontrar (el desarrollo puede verse en el apéndice E del libro de Eisberg 2nd ed.) que las partículas siguen trayectorias hiperbólicas y que por ende el ángulo de desvío estará determinado por el ángulo que forman las asíntotas de dichas hipérbolas. Siguiendo esta idea, la tasa a la que las partículas se dispersan en un detector con cierta área está dada por

$N(\theta)=\frac{nt}{4r^2}\left(\frac{zZ}{2E_k}\right)^2\left(\frac{e^2}{4\pi\epsilon_o}\right)^2\frac{1}{\sin{\frac{1}{2}\theta}^4}$

donde $nt$ es el número de núcleos por unidad de área ($nt=N_A\rho t/M$ con M la masa molar del material de la lámina). Esta última expresión se conoce como fórmula de dispersión de Rutherford y a partir de ella se pueden obtener gráficas como la de la siguiente figura, en la que se observa la dependencia de la tasa de dispersión con el grosor de la lámina.

Figura 7: Tasa de dispersión en función del espesor de la lámina para distintos materiales.

Como consecuencias de este modelo está por ejemplo la idea de que los electrones se encuentran en órbitas alrededor del núcleo determinadas por la ley de Coulomb.  Teniendo esto presente, si se tiene en cuenta ahora que los electrones al estar acelerados emiten radiación y que esa potencia radiada es proporcional al cuadrado de dicha aceleración, esa pérdida de energía por radiación de dichos electrones en órbita haría que esa estructura del átomo no fuese estable pues estos terminarían cayendo lentamente al núcleo (se volvería al átomo de Thomson). Entonces como resultado de tomar leyes de Newton al describir la aceleración experimentada y las leyes de Maxwell al asumir que se produce radiación, se muestra que la teoría clásica tiene un problema por ejemplo para explicar la estabilidad del átomo y en ese punto aparece entonces la Hipótesis cuántica y el modelo de Bohr.

• Modelo de Bohr

El modelo de Bohr presenta la primera hipótesis cuántica que trata explicar la estructura del átomo. Esta parte de las siguientes suposiciones: la fuerza eléctrica es la que sostiene al átomo y la física newtoniana describe la órbita circular del electrón. Considerando un átomo de hidrógeno (Z=1) tendremos:

$F_e=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$

$E_k=\frac{1}{8\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{r}$

$E_p=-2E_k=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{r}$

$E_T=E_k+E_p=-\frac{1}{8\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{r}$

A partir de esto Bohr formula las siguientes hipótesis. 

    1. El momento angular del electrón en su órbita es un múltiplo de h, es decir, está cuantizado.

$L=mvr=n\hbar$

        Con $\hbar=h/2\pi$ y $n$ un entero. 

        Cualquier órbita que no cumpla con esta condición estará prohibida. 

    2. Los electrones en estas órbitas circulares no radian energía.

    3. Los electrones que cambian de una órbita a otra sí radian energía.

Teniendo esto podemos utilizar la nueva fórmula del momento angular y relacionarlo con las fórmulas de energía descritas anteriormente para obtener la siguiente ecuación de las órbitas permitidas:

$r_n=a_0 n^2$

A $a_0=0.053\ nm$ se le conoce como el Radio de Bohr. Esta ecuación implica que el átomo de Bohr tiene órbitas proporcionales a un número entero al cuadrado. 

Para finalizar, la energía tendrá la siguiente forma:

$E_n=-\frac{E_0}{n^2}=-\frac{13.6\ eV}{n^2}$ 

Como $\lambda$ está relacionada con $E_n$ entonces $\lambda$ también estará relacionada con $n^2$, lo que habíamos visto al inicio en la descripción de las líneas de Balmer. Es entonces este modelo la primera explicación consistente con los resultados de espectroscopía.

Referencias:

• Eisberg, R., & Resnick, R. (1985). QUANTUM PHYSICS of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2.^a ed.). John Wiley & Sons.

• Krane, K. (2012). Modern Physics (3.^a ed.). John Wiley & Sons, Inc.

Video ilustrativo: https://www.youtube.com/watch?v=2_CF2Z_5ZVQ

Editado: Waira M

 Ejercicio clase 29. Preparación de los estados $|+ \rangle$ y $|- \rangle$

Al generar un campo magnético paralelo a un eje arbitrario con dirección u en un experimento de Stern-Gerlach y hacer un agujero en uno de los puntos de "acumulación" de partículas, podemos preparar estados de spin $|+\rangle _{u}$ y $|-\rangle _{u}$. Utilizamos un aparato de Stern-Gerlach como analizador, para el cual las partículas de entrada son las de salida del primer aparato.

Si preparamos las partículas en estado $|+\rangle$ y el analizador mide $S_{z}$, dado que el estado estudiado es autoestado de $S_{z}$, que es lo que buscamos medir, encontraremos la medida asociada al estado de entrada $|+\rangle$, es decir, $+ \frac{\hbar}{2}$.

Ahora, si generamos partículas con estado de spin $\psi = cos(\frac{\theta}{2}) + sin(\frac{\theta}{2})$ (con B en dirección u con ángulos polares $\theta$ y $\phi = 0$ y  medimos $S_{z}$ en el analizador, encontramos partículas en ambos estados asociados a  $+ \frac{\hbar}{2}$ y  $- \frac{\hbar}{2}$, pero cada uno con una probabilidad diferente: para  $|+\rangle =   cos^{2}(\frac{\theta}{2})$ y $|-\rangle =   sin^{2}(\frac{\theta}{2})$.

Suponiendo el caso más general en el que se generan partículas prepradas con estado de spin $\psi = cos(\frac{\theta}{2}) + sin(\frac{\theta}{2})$ y  se busca medir $S_{u}$ con un analizador, encuentre la propabilidad de medir los autovalores $\pm \frac{\hbar}{2} $ de $S_{u}$. 

Solución: Sebastián Montoya Hernández

$_{u}\langle{+}|\psi\rangle^{2}$ , $ _{u}\langle{-}|\psi\rangle^{2} :$

$_{u}\langle{+}|\psi\rangle = [cos\frac{\theta}{2}e^{\frac{i\phi}{2}}\langle{+}|+sin\frac{\theta}{2}e^{\frac{-i\phi}{2}}\langle{-}|][cos\frac{\theta}{2}|+\rangle+sin\frac{\theta}{2}|-\rangle]$

$_{u}\langle{+}|\psi\rangle= cos^{2}\frac{\theta}{2}e^{\frac{i\phi}{2}}+sin^{2}\frac{\theta}{2}e^{\frac{-i\phi}{2}}$

$_{u}\langle{+}|\psi\rangle^{2} = cos^{4}\frac{\theta}{2}e^{i\phi}+sin^{4}\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}+2cos^{2}\frac{\theta}{2}sin^{2}\frac{\theta}{2}$

Análogamente,

$_{u}\langle{-}|\psi\rangle = [-sin\frac{\theta}{2}e^{\frac{i\phi}{2}}\langle{+}|+cos\frac{\theta}{2}e^{\frac{-i\phi}{2}}\langle{-}|][cos\frac{\theta}{2}|+\rangle+sin\frac{\theta}{2}|-\rangle]$

$_{u}\langle{-}|\psi\rangle = -sin\frac{\theta}{2}cos\frac{\theta}{2}e^{\frac{i\phi}{2}}+sin\frac{\theta}{2}cos\frac{\theta}{2}e^{\frac{-i\phi}{2}}$

$_{u}\langle{-}|\psi\rangle^{2} = sin^{^{2}}\frac{\theta}{2}cos^{2}\frac{\theta}{2}e^{i\phi}+sin^{2}\frac{\theta}{2}cos^{2}\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}-2sin^{^{2}}\frac{\theta}{2}cos^{2}\frac{\theta}{2}$

$_{u}\langle{-}|\psi\rangle^{2} = sin^{^{2}}\frac{\theta}{2}cos^{2}\frac{\theta}{2}(e^{i\phi}+e^{-i\phi}+2)$

Clase #32 . Átomo de Hidrógeno. Espectros de Emisión y efecto Zeeman.

 

Espectros de Emisión del átomo de hidrógeno y Efecto Zeeman.

Según la teoría cuántica, los posibles valores para la energía del átomo

de hidrógeno están dados por:

$ E_{n}$ = $ -{\frac{K e^{2}}{2a_{o}n^{2}}}$ = $\frac {-13.606 eV}{n^{2}}$

Donde: 

$K$ : constante eléctrica.

$e$: carga del electrón. 

$a_{o}$ : radio de Bohr.

$n$ : nivel de energía.

así los niveles de energía están cuantizados de manera análoga al modelo

previsto por el átomo de Bohr.

si $n=1$ : entonces $l=0$,  $m=0$ 

donde:    $l = 0,1,2.. n-1$

$E_{1}= -13.606 eV$

$n$ es el número cuántico principal que corresponde al valor de la energía ,

$l$ : número cuántico de momento angular orbital, $m$ = número cuántico

orbital magnético.

Ahora si  consideramos el primer estado excitado tal que $n=2$:

$l = 0,1 $

si $n=2$ , $l=0$ entonces: $m=0$ 

el estado correspondiente será:

$\psi_{200}$

si $n=2$, $l=1$  entonces:$ m = -1,0,1$

los estados permitidos serán:

$\psi_{21-1}$ ,$\psi_{210}$, $\psi_{211}$

Así para el primer nivel excitado (  $n=2$) los posibles estados  permitidos

serán:

$\psi_{200}$, 

$\psi_{21-1}$, 

$\psi_{210}$,

$\psi_{211}$.

Este es el estado $2p$ , y hay degeneración pues hay 4 estados con el mismo

nivel de energía.

Así pués la energía, para el átomo de hidrógeno para decaer desde su estado

con n=2 a n=1, es :

$E_{2} - E_{1} = hf$

donde: h: constante de Planck, f: frecuencia del fotón emitido.

Está diferencia de energía corresponde a la frecuencia de emisión del espectro

del hidrógeno entre su nivel fundamental y su primer estado excitado.

Si ahora se introduce un campo magnético externo $B$ entonces, este interactúa

con el momento angular orbital del átomo de hidrógeno y ocasiona que se rompa

la degeneración para el estado excitado  con $n=2$, Así pues $l=1$ , se divide en

tres sub estados para los cuales cada uno tendrá un valor distinto de energía des-

de el estado en que se encuentra, hasta el estado fundamental.

ver figuras 1 y 2.

Figura 1.Espectros de emisión del átomo de hidrógeno sin y con la acción de un 

campo magnético externo.

Esto provoca que ya no exista una sola frecuencia de decaimiento asociado al fotón,

sino que existen 3 diferentes frecuencias. Lo anterior implica que el espectro del átomo

bajo la acción de un campo magnético, muestra 3 líneas espectrales (ver figura 2).

Este fenómeno es conocido como el Efecto Zeman.

Figura 2. Lineas espectrales asociadas decaimientos energéticos en presencia de 

un campo magnético.

El efecto Zeeman tiene importantes aplicaciones, una de estas, es que permite

determinar intensidades de campo magnético, conociendo las líneas espectrales

de emisión del objeto que lo produce. Por ejemplo  el efecto Zeeman puede ser

aplicado para medir los campos magnéticos fuera de la Tierra más específicamente

en la superficie del sol. Si se conoce la división de las líneas espectrales en esa

región, se puede estimar la magnitud del campo magnético en esa zona.

Referencias:

• Serway, 2007. Física para ciencia e ingeniería con Física moderna.

• Séptima edición.

• https://fisica3j.weebly.com/explicar-el-efecto-zeeman-y-su-importancia.html

CLASE # 16 

Representación de operadores 

Dado un operador lineal A en una base $|u_{i}\rangle$ o $|w_{\alpha}\rangle$ , podemos asociar con él una serie de números definidos por

$$ A_{ij} = \langle{u_{i}} |A| u_{j} \rangle $$

o, en una base continua,

$$  A_{\alpha , \alpha '} = \langle{w_{\alpha}} |A| w_{\alpha '} \rangle  $$

Estos números dependen de dos índices y por tanto pueden ser ordenados e una matriz de tipo $n \times n$. Por convención, para el operador A en la base $|u_{i}\rangle$. Su representación matricial se escribe como 

$$\begin{pmatrix}A_{1 1} &A_{1 2} ... & A_{1 j} ...\\ A_{2 1}& A_{2 2}... & A_{2 j}...\\  .& . &. \\ .& . &. \\ .& . & .\\ A_{i 1}&A_{i 2}...  &A_{i j} \\ .&  &. \\ .&.  &. \\ .& . & . \end{pmatrix}$$

Se puede observar que la j-ésima columna se conforma por componentes en la base $|u_{i}\rangle$ de la transformación $A|u_{i}\rangle$ del vector de la base $|u_{j}\rangle$

Representación del ket $|\psi ' \rangle = A|\psi\rangle$

Conociendo las componentes de $|\psi \rangle$ y los elementos de matriz de $A$ en cierta representación, es posible calcular las componentes de en dicha representación.

En la base $|u_{i}\rangle$ , la coordenada de $c_{i} '$ de $|\psi ' \rangle$  está dada por:

$$c_{i} ' =  \langle{u_{i}} | \psi ' \rangle = \langle{u_{i}} |A| \psi \rangle$$

Aplicando la relación de completez, se obtiene:

$$c_{i} ' =   \langle{u_{i}} |A \mathbb{I}| \psi \rangle =  \langle{u_{i}} |A P_{u_{j}}| \psi \rangle$$

$$\sum_{j} \langle{u_{i}} |A| u_{j} \rangle \langle{u_{j}} | \psi \rangle$$

$$\sum_{j} A_{ij} c_{j}$$

De la misma manera para una base continua $|w_{\alpha}\rangle$:

$$c_{\alpha} ' =  \langle{w_{\alpha}} | \psi ' \rangle = \langle{w_{\alpha}} |A| \psi \rangle$$

$$\int d \alpha '\langle{w_{\alpha}} |A| w_{\alpha '}  \rangle \langle{w_{\alpha '} }|\psi \rangle$$

$$\int d \alpha ' A(\alpha , \alpha ') c(\alpha ')$$

Expresión para el número $\langle{\phi} |A| \psi \rangle$

Al insertar la relación de completez entre $\langle{\phi}|$ y $A$ y nuevamente entre $A$ y $ | \psi \rangle $, se obtiene:

$$ \langle{\phi} |A| \psi \rangle =   \langle{\phi} |P_{u_{i}}AP_{u_{j}}| \psi \rangle$$

$$ \sum_{i,j} b^{*}_{i} A_{ij} c_{j}$$

Y de manera análoga para la base continua:

$$ \langle{\phi} |A| \psi \rangle =   \langle{\phi} |P_{w_{\alpha}}AP_{w_{\alpha '}}| \psi \rangle$$

$$ \int \int d \alpha d \alpha '  b^{*}(\alpha) A(\alpha , \alpha ') c(\alpha ')$$

Sebastián Montoya Hernández

Ejercicio Clase 16. Operadores y cambios de Base

 

En la clase se trabajó en el cambio de bases discretas para operadores lineales :

Un tipo especial de transformación lineal, es el cambio de base de un operador lineal de un espacio a otro , sea el operador lineal momento angular  a lo largo del eje x definido como:

$ \hat {L}_{x}  = -i ( y \frac{ \partial }{ \partial_{z}} - z \frac{\partial}{ \partial_{y}} ) $ 

a) Encuentre la representación del operador $  \hat {L}_{x} $ en la base estándar cartesiana $ B =\left\lbrace x,y,z \right\rbrace  $.

b) Una vez representado el operador en la base B , encuentre la representación de $  \hat {L}_{x} $ en la base $B' =   \left\lbrace \frac{1}{\sqrt{2} (x + iy)} , z, \frac{-1}{\sqrt{2}} (x-iy)\right\rbrace $, donde $B'$ es la base de los armónicos esféricos en coordenadas cartesianas.

Sugerencia: Utilice la ecuación de transformación de similaridad para un operador lineal $\hat{T}$ tal que :

$[ \hat{T}]_{B'} = A [ \hat{T}]_{B} A^{-1}$.

donde: $A$ : es la matriz de cambio de base entre $ B $ y $ B'$

Ejercicio Clase 31 - Abril 4 de 2022

 Considere el operador momento angular $L_z$ en coordenadas cartesianas dado por: 

$$ L_{z} = - i \hbar \left ( x\frac{\partial }{\partial y} - y \frac{\partial }{\partial x} \right ) $$

Usando la transformación a coordenadas esféricas: $x = r sin\theta sin \phi$, $ y = r sin\theta sin \phi$, $z = r cos\theta$, donde $0 \leq \theta \leq \pi$ y  $0 \leq \phi \leq 2 \pi $, escribir los operadores $\frac{\partial }{\partial x}$ y  $\frac{\partial }{\partial y}$ en términos de $r$ ,  $\theta$ y $\phi$ y con esto escribir $L_z$ en coordenadas esféricas. 

Ejercicio propuesto por Jonathan Posada. 

Aplicación de la Clase 28 de Marzo: Precesión de Larmor

 Precesión de Larmor

Como ya sabemos, el núcleo de un átomo tiene un momento angular intrínseco que ocasiona su rotación alrededor de su propio eje, esto se conoce como Spín. En ausencia de un campo magnético externo este movimiento continua inalterado; sin embargo, si se añade el campo el eje de rotación precesará alrededor de este. Esto se puede ver en la figura 1.

             Figura 1. Partícula con spín en ausencia  y en presencia de un campo magnético externo                                 respectivamente.

La precesión de Larmor tiene su importancia en la resonancia magnética nuclear, resonancia magnética, resonancia paramagnética de electrones y alineación de granos de polvo cósmico.

La más importante de estas aplicaciones es la resonancia nuclear magnética (RNM), la cual es un fenómeno donde los núcleos que se encuentran en presencia de un campo magnético oscilante responden con una frecuencia similar a la del campo. Para producir este efecto se debe:

1. Alinear los spínes de los núcleos en un campo magnético aplicado constante.

2. Perturbar esta alineación de los spínes con un nuevo campo oscilante que se conoce como "pulso de radiofrecuencia".

3. Detectar la señal de RNM que se generan durante los pulsos. Después de estos pulsos, presenta una precesión con la frecuencia de Larmor del núcleo en cuestión.

Esta técnica es ampliamente usada en la espectroscopía y permite conocer la estructura de moléculas orgánicas, cristales (figura 2). Igualmente, tiene sus aplicaciones en la formación de imágenes médicas como por ejemplo la formación de imágenes por resonancia magnética.

Figura 2. Espectrómetro de resonancia magnética nuclear (RMN).

Bibliografía

Precesión de Larmor.(S.F). Recuperado de: 

https://hmong.es/wiki/Larmor_precession#:~:text=La%20precesi%C3%B3n%20de%20Larmor%20es,la%20luz%20de%20las%20estrellas%20.

Presentado por Valentina Pérez Cadavid.

Solución al Ejercicio Clase 24 - Marzo 15

 Para determinar los elementos de matriz de los operadores $a^{\dagger  }$, $a$, $X$ y $P $ en la base $\left|\varphi _n \right>$ se debe "sanduchar" entre dos estados $\left|\varphi _n \right>$ y $\left|\varphi _{n'} \right>$. Además se debe tener en cuenta la acción de estos operadores sobre un estado arbitrario

• $a^{\dagger}\left|\varphi _n \right> = \sqrt{n+1}\left|\varphi _{n+1} \right> $

$a\left|\varphi _n \right> = \sqrt{n}\left|\varphi _{n-1} \right> $

1. Elementos de matriz para $a$

$<\varphi  _{n'}|a\left|\varphi _n \right> = <\varphi  _{n'}|\sqrt{n}\left|\varphi _{n-1} \right> = \sqrt{n}\delta_{{n'},{n-1}} $

2. Elementos de matriz para $a^{\dagger}$

$ <\varphi  _{n'}|a^{\dagger  }\left|\varphi _n \right> = <\varphi  _{n'}|\sqrt{n+1}\left|\varphi _{n+1} \right> = \sqrt{n+1}\delta_{{n'},{n+1}}$

3. Elementos de matriz para $X$

$ <\varphi  _{n'}|X\left|\varphi _n \right> = <\varphi  _{n'}|\sqrt{\frac{\hbar}{2mw}} (\sqrt{n+1}\left|\varphi _{n+1} \right> + \sqrt{n}\left|\varphi _{n-1} \right> ) =$

$\sqrt{\frac{\hbar}{2mw}}(\sqrt{n+1}\cdot\delta_{{n'},{n+1}} + \sqrt{n} \cdot\delta_{{n'},{n-1}}) $

4. Elementos de matriz para $P$

$ <\varphi  _{n'}|P\left|\varphi _n \right> = i \sqrt{\frac{\hbar}{2mw}}\cdot (\sqrt{n+1}\cdot\delta_{{n'},{n+1}} -\sqrt{n}\cdot \delta_{{n'},{n-1}})$

Solucionado por Valentina Pérez Cadavid.

Clase 21 Postulados Mecanica Cuantica (Aplicación)

 Al hablar de los postulados de la mecánica cuántica, es hablar de  los fundamentos de  ella por lo tanto toda aplicación es un resultado de los mismos así que podemos hacer referencia de cualquiera como por ejemplo sistema de GPS, relojes atómicos, computadores, inteligencia artificial entre otras una de las que puede causar gran impacto y es muy conocida por todos sin ser conscientes de que lleva implicito estos postulados o fundamentos es la RESONANCIA MAGNECTICA :

Algo anda mal en el cuerpo entonces se presentan dos opciones para saber que sucede abrir con un bisturí y buscar otra menos riesgosa,  inspeccionar con una resonancia magnética nuclear, aquí aprovechamos un fenómeno llamado resonancia cuántica entre spines de núcleos atómicos  y la radiación electromagnética 

En terminos cuánticos preparamos el sistema, enviamos unas radiofrecuencias a un sector del tejido humano e produce un fenómeno  los átomos de hidrogeno captan a esos fotones y entran en resonancia con el, lo cual lo hace observable, paso seguido cuando el cuerpo los núcleos recuperan su estado inicial la energía sobrante sale del cuerpo la cual es captaba por el detector que nos permite recuperar los tejidos con su geometría que envio los fotones y vemos una imagen sin cortas nuestro cuerpo con un cuchillo. 

Elaborado por David Andres Pedroza.

Ejercicio Clase 28 Experimento de Stern-Gerlach

 Determine, en términos de los estados base $|+\rangle$ y $|-\rangle$, los estados $|\mathbf{\hat{n}}, +\rangle$ tales que

$$\mathbf{\hat{S}}|\mathbf{\hat{S}\cdot\hat{n}}, +\rangle= \frac{\hbar}{2}|\mathbf{\mathbf{\hat{S}}\cdot\hat{n}}, +\rangle$$

donde $\mathbf{\hat{n}}$ es un vector unitario que forma un ángulo $\theta$ respecto al eje z, y un ángulo $\phi = 0$ en el plano xy.

Elaborado por David Andres Pedroza 

Solución elaborada por Jonathan Posada:

Acorde a lo visto en clase, la matriz que representa el observable de spin en la dirección $\hat{n}$ en términos de la base  {$ |a>, |->$}, es: 

$$ (S_{n}) = (S_{x})sin\theta cos\phi + (S_{y}) sin\theta sin \phi + (S_{z}) cos\theta $$

Donde usando la representación matricial de $S_x$, $S_y$, $S_z$, y tomando $\phi = 0$ se tiene que:

$$ \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} cos \theta & sin \theta \\ sin \theta &  -cos\theta \\ \end{pmatrix} $$

Donde como vimos, sus autovalores son también $ \pm \frac{\hbar}{2} $ pues siempre es posible rotar el experimento de Stern - Gerlach para que el campo magnético sea paralelo a $\hat{n}$.

Luego, los estados $| \hat{n}, +> $, |\hat{n}, ->$ quedan determinados por los autovectores de la matriz anterior. 

Para el estado $|\hat{n}, +>$ (autovector asociado a el autovalor  $+ \frac{\hbar}{2}$, la ecuación de atuvalores es:

$$  \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} cos \theta & sin \theta \\ sin \theta &  -cos\theta \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} |+> \\ |-> \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}  $$ 

La matriz anterior puede llevarse a su forma escalonada reducida para obtener dicho autovector. Para esto, aplicar las siguientes operaciones: $$\frac{-sin\theta}{cos\theta - 1} F_1 + F_2\rightarrow F_2$$  y seguidamente $$ F_1 \to \frac{F_1}{cos\theta -1} $$

Se obtiene: $$  \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & \frac{sin \theta}{\cos \theta -1} \\ 0&  0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} |+> \\ |-> \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}  $$ 

Teniendo en cuenta la siguiente identidad trigonométrica: $\frac{sin \theta}{cos \theta -1} = - cot \frac{\theta}{2} $ se tiene: 

$$  \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & - cot \frac{\theta}{2} \\ 0&  0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} |+> \\ |-> \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}  $$ 

De donde se tiene entonces  que el autovector será de la forma: 

$$| \hat{n}, +> =  \begin{pmatrix} cot \frac{\theta}{2}\\ 1 \end{pmatrix} $$

Y considerando otra identidad trigonométrica: $ cot \frac{\theta}{2} = csc \theta + cot \theta = \frac{cos (\theta \setminus  2)}{sin (\theta \setminus  2)} $

 Se obtiene finalmente que el autovector es de la forma 

$$| \hat{n}, +> =  \begin{pmatrix} cos \frac{\theta}{2}\\ sin \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} $$

$$| \hat{n}, +> = cos \frac{\theta}{2}|+> + sin \frac{\theta}{2}|+> $$