Solución al Ejercicio Clase 24 - Marzo 15

 Para determinar los elementos de matriz de los operadores $a^{\dagger  }$, $a$, $X$ y $P $ en la base $\left|\varphi _n \right>$ se debe "sanduchar" entre dos estados $\left|\varphi _n \right>$ y $\left|\varphi _{n'} \right>$. Además se debe tener en cuenta la acción de estos operadores sobre un estado arbitrario

• $a^{\dagger}\left|\varphi _n \right> = \sqrt{n+1}\left|\varphi _{n+1} \right> $

$a\left|\varphi _n \right> = \sqrt{n}\left|\varphi _{n-1} \right> $

1. Elementos de matriz para $a$

$<\varphi  _{n'}|a\left|\varphi _n \right> = <\varphi  _{n'}|\sqrt{n}\left|\varphi _{n-1} \right> = \sqrt{n}\delta_{{n'},{n-1}} $

2. Elementos de matriz para $a^{\dagger}$

$ <\varphi  _{n'}|a^{\dagger  }\left|\varphi _n \right> = <\varphi  _{n'}|\sqrt{n+1}\left|\varphi _{n+1} \right> = \sqrt{n+1}\delta_{{n'},{n+1}}$

3. Elementos de matriz para $X$

$ <\varphi  _{n'}|X\left|\varphi _n \right> = <\varphi  _{n'}|\sqrt{\frac{\hbar}{2mw}} (\sqrt{n+1}\left|\varphi _{n+1} \right> + \sqrt{n}\left|\varphi _{n-1} \right> ) =$

$\sqrt{\frac{\hbar}{2mw}}(\sqrt{n+1}\cdot\delta_{{n'},{n+1}} + \sqrt{n} \cdot\delta_{{n'},{n-1}}) $

4. Elementos de matriz para $P$

$ <\varphi  _{n'}|P\left|\varphi _n \right> = i \sqrt{\frac{\hbar}{2mw}}\cdot (\sqrt{n+1}\cdot\delta_{{n'},{n+1}} -\sqrt{n}\cdot \delta_{{n'},{n-1}})$

Solucionado por Valentina Pérez Cadavid.