Ejercicio Clase 28 Experimento de Stern-Gerlach

 Determine, en términos de los estados base $|+\rangle$ y $|-\rangle$, los estados $|\mathbf{\hat{n}}, +\rangle$ tales que

$$\mathbf{\hat{S}}|\mathbf{\hat{S}\cdot\hat{n}}, +\rangle= \frac{\hbar}{2}|\mathbf{\mathbf{\hat{S}}\cdot\hat{n}}, +\rangle$$

donde $\mathbf{\hat{n}}$ es un vector unitario que forma un ángulo $\theta$ respecto al eje z, y un ángulo $\phi = 0$ en el plano xy.

Elaborado por David Andres Pedroza 

Solución elaborada por Jonathan Posada:

Acorde a lo visto en clase, la matriz que representa el observable de spin en la dirección $\hat{n}$ en términos de la base  {$ |a>, |->$}, es: 

$$ (S_{n}) = (S_{x})sin\theta cos\phi + (S_{y}) sin\theta sin \phi + (S_{z}) cos\theta $$

Donde usando la representación matricial de $S_x$, $S_y$, $S_z$, y tomando $\phi = 0$ se tiene que:

$$ \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} cos \theta & sin \theta \\ sin \theta &  -cos\theta \\ \end{pmatrix} $$

Donde como vimos, sus autovalores son también $ \pm \frac{\hbar}{2} $ pues siempre es posible rotar el experimento de Stern - Gerlach para que el campo magnético sea paralelo a $\hat{n}$.

Luego, los estados $| \hat{n}, +> $, |\hat{n}, ->$ quedan determinados por los autovectores de la matriz anterior. 

Para el estado $|\hat{n}, +>$ (autovector asociado a el autovalor  $+ \frac{\hbar}{2}$, la ecuación de atuvalores es:

$$  \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} cos \theta & sin \theta \\ sin \theta &  -cos\theta \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} |+> \\ |-> \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}  $$ 

La matriz anterior puede llevarse a su forma escalonada reducida para obtener dicho autovector. Para esto, aplicar las siguientes operaciones: $$\frac{-sin\theta}{cos\theta - 1} F_1 + F_2\rightarrow F_2$$  y seguidamente $$ F_1 \to \frac{F_1}{cos\theta -1} $$

Se obtiene: $$  \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & \frac{sin \theta}{\cos \theta -1} \\ 0&  0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} |+> \\ |-> \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}  $$ 

Teniendo en cuenta la siguiente identidad trigonométrica: $\frac{sin \theta}{cos \theta -1} = - cot \frac{\theta}{2} $ se tiene: 

$$  \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & - cot \frac{\theta}{2} \\ 0&  0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} |+> \\ |-> \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}  $$ 

De donde se tiene entonces  que el autovector será de la forma: 

$$| \hat{n}, +> =  \begin{pmatrix} cot \frac{\theta}{2}\\ 1 \end{pmatrix} $$

Y considerando otra identidad trigonométrica: $ cot \frac{\theta}{2} = csc \theta + cot \theta = \frac{cos (\theta \setminus  2)}{sin (\theta \setminus  2)} $

 Se obtiene finalmente que el autovector es de la forma 

$$| \hat{n}, +> =  \begin{pmatrix} cos \frac{\theta}{2}\\ sin \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} $$

$$| \hat{n}, +> = cos \frac{\theta}{2}|+> + sin \frac{\theta}{2}|+> $$