CLASE # 16 

Representación de operadores 

Dado un operador lineal A en una base $|u_{i}\rangle$ o $|w_{\alpha}\rangle$ , podemos asociar con él una serie de números definidos por

$$ A_{ij} = \langle{u_{i}} |A| u_{j} \rangle $$

o, en una base continua,

$$  A_{\alpha , \alpha '} = \langle{w_{\alpha}} |A| w_{\alpha '} \rangle  $$

Estos números dependen de dos índices y por tanto pueden ser ordenados e una matriz de tipo $n \times n$. Por convención, para el operador A en la base $|u_{i}\rangle$. Su representación matricial se escribe como 

$$\begin{pmatrix}A_{1 1} &A_{1 2} ... & A_{1 j} ...\\ A_{2 1}& A_{2 2}... & A_{2 j}...\\  .& . &. \\ .& . &. \\ .& . & .\\ A_{i 1}&A_{i 2}...  &A_{i j} \\ .&  &. \\ .&.  &. \\ .& . & . \end{pmatrix}$$

Se puede observar que la j-ésima columna se conforma por componentes en la base $|u_{i}\rangle$ de la transformación $A|u_{i}\rangle$ del vector de la base $|u_{j}\rangle$

Representación del ket $|\psi ' \rangle = A|\psi\rangle$

Conociendo las componentes de $|\psi \rangle$ y los elementos de matriz de $A$ en cierta representación, es posible calcular las componentes de en dicha representación.

En la base $|u_{i}\rangle$ , la coordenada de $c_{i} '$ de $|\psi ' \rangle$  está dada por:

$$c_{i} ' =  \langle{u_{i}} | \psi ' \rangle = \langle{u_{i}} |A| \psi \rangle$$

Aplicando la relación de completez, se obtiene:

$$c_{i} ' =   \langle{u_{i}} |A \mathbb{I}| \psi \rangle =  \langle{u_{i}} |A P_{u_{j}}| \psi \rangle$$

$$\sum_{j} \langle{u_{i}} |A| u_{j} \rangle \langle{u_{j}} | \psi \rangle$$

$$\sum_{j} A_{ij} c_{j}$$

De la misma manera para una base continua $|w_{\alpha}\rangle$:

$$c_{\alpha} ' =  \langle{w_{\alpha}} | \psi ' \rangle = \langle{w_{\alpha}} |A| \psi \rangle$$

$$\int d \alpha '\langle{w_{\alpha}} |A| w_{\alpha '}  \rangle \langle{w_{\alpha '} }|\psi \rangle$$

$$\int d \alpha ' A(\alpha , \alpha ') c(\alpha ')$$

Expresión para el número $\langle{\phi} |A| \psi \rangle$

Al insertar la relación de completez entre $\langle{\phi}|$ y $A$ y nuevamente entre $A$ y $ | \psi \rangle $, se obtiene:

$$ \langle{\phi} |A| \psi \rangle =   \langle{\phi} |P_{u_{i}}AP_{u_{j}}| \psi \rangle$$

$$ \sum_{i,j} b^{*}_{i} A_{ij} c_{j}$$

Y de manera análoga para la base continua:

$$ \langle{\phi} |A| \psi \rangle =   \langle{\phi} |P_{w_{\alpha}}AP_{w_{\alpha '}}| \psi \rangle$$

$$ \int \int d \alpha d \alpha '  b^{*}(\alpha) A(\alpha , \alpha ') c(\alpha ')$$

Sebastián Montoya Hernández