Clase 7: Átomo de Bohr y Mecánica Ondulatoria

Juan Felipe Zapata

El modelo atómico de Bohr 

Ideas básicas del modelo 

1) Los electrones se mueven en órbitas circulares alrededor del núcleo bajo el efecto de la fuerza de coulomb 

2) Sólo ciertas órbitas son estables, estas son en dónde los electrones no radían, por lo tanto la energía es fija en el tiempo y su movimiento se puede describir usando mecánica clásica. 

3) El átomo emite radiación cuando los electrones pasan de un estado de energía mayor $E_{i}$ a otro menor $E_{f}$; la frecuencia del fotón emitido es independiente de la frecuencia del movimiento orbital  los electrones y está dada por la ecuación: $$E_{i}-E_{f}=h \nu$$

4) Las órbitas permitidas para los electrónes son aquellas en las que el mometo angular orbital del electrón es un múltiplo entero de $\hbar$: $$m_{e}vr=n\hbar$$

Estos postulados llevan a órbitas y energías cuantizadas: 

a) El radio para el orbital de  un electrón en el nivel de energía $n$ es: $$r_{n}=n^{2}\frac{a_{0}}{Z}$$ en donde $Z$ es el número de protones en el núcleo y  $a_{0}=\frac{\hbar^{2}}{m_{e} \cdot k \cdot e^{2}}=0.0529 nm$, se denomina el radio de Bohr.

b) Los valores de energía permitidos para un átomo con número atómico $Z$ son: $$E_{n}=-\frac{ke^{2}}{2 a_{0}}\left( \frac{Z^{2}}{n^{2}}\right)$$ el valor negativo de la energía indica un sistema ligado electrones-protones, donde $k$ es la constante de coulomb. Si $E_{n} \geq 0$ entonces el electrón se llama electrón libre. 

Espectros de emisión

 La longitud de onda $\lambda$ de un fotón  emitido por un electrón al pasar de un nivel de energía $n_{i}$ con energía $E_{i}$ a otro $n_f$ con energía $E_{f}$ está dada por la fórmula de Rydberg: 

$$\frac{1}{\lambda}=R Z^{2} \left(\frac{1}{n_{f}^{2}}- \frac{1}{n_{i}^{2}}\right)$$ en donde $R$ se denomina la constante de Rydberg, $R=1.0973732 \times 10^{7} m^{-1}=\frac{k \cdot e^{2}}{2 a_{0} h c}$. 

$n_{f}$ $\epsilon$ $\mathbb N$ y $ n_{f}+1 \leq n_{i} \leq n_{f}+1, n_{f}+2,n_{f}+3, \cdot \cdot \cdot $

Principio de correspondencia de Bohr

 Las predicciones de la teoría cuántica deben corresponder a las predicciones de la física clásica en la región de tamaños donde se sabe que la teoría clásica es valida, de forma simbólica: $$\lim\limits_{n \to \infty}(cuántica)=clásica$$ a medida que $n$ crece los niveles de energía están tan juntos que se considera a $\Delta E$ un contínuo. 

Principio de Combinación de  Ritz

 Las frecuencias medidas de las radiaciones emitidas o absorbidas por los átomos se pueden expresar como la diferencia entre dos términos, llamados términos espectroscópicos, los cuales toman una serie de valores característicos para cada elemento. 

Este principio fue propuesto en 1908 de forma empírica basándose en el trabajo de Johann Jakob Balmer, luego Bohr con su teoría pudo cubrir este principio de forma matemática. 

Experimento de Frank-Hertz

Con este experimento se pudo demostrar que los electrones, en este caso de átomos de  mercurio, sólo admitían cantidades específicas de energía transferidas por otros electrones al chocar con ellos, lo cual confirmó las ideas de Bohr de la discretización de la energía de los electrones en sus orbitales.

El montaje experimental es como en Fig.1 :

Fig. 1. Aparato de Frank-Herz. Gotas de mercurio se encierran en un tubo de vacío a $185 ^{°}C$ y experimentan evaporación; de la parte izquierda se aceleran electrones, que interactúan con los átomos de Hg.

Lo que se observó en el experimento es que a medida que se se aumenta el voltaje de aceleración la corriente detectada en el electrómetro no tenía un comportamiento lineal, sino más bien oscilante, como se ve en Fig.2

  

Fig. 2. La corriente como una función del voltaje de aceleración 

Si no estuviera el gas de mercurio, con la energía ganada en la región del voltaje de aceleración es más que suficiente para que un electrón no sea frenado después de la rejilla y pueda ser detectado, sin embargo, como tenemos un gas, los electrones pierden energía al interactuar con los átomos y algunos no superan en voltaje retardador generando bajas en la corriente medida. Cuando se aumenta el voltaje de aceleración hay unos puntos en donde las colisiones entre los electrones y los átomos son inelásticas, en estas colisiones los electrones transfieren casi toda su energía a los átomos, estos electrones no superan el voltaje retardador y la corriente detectada decrece como en los puntos (A) y (C) de Fig. 2. 

Lo que resulta de todo lo anterior es que sólo para ciertos valores de energía adquiridos por los electrones se detectaban las bajas en la corriente, indicando que el átomo sólo absorbía valores muy específicos de energía, los que coinciden con los medidos en los espectros ópticos de emisión. 

Deficiencias del modelo

1) No predice la intensidad de las líneas espectrales

2) Predice parcialmente las longitudes de onda de emisión y absorción de átomos multielectrónicos

3) No proporciona ecuaciones de movimiento para sistemas atómicos

4) No podía explicar la  dualidad onda-partícula de la luz ya que  la consideraba corpuscular

5)  No podía cuantizar sistemas que tuvieran un movimiento no periódico

6) Sólo permite orbitales planos

Mecánica Ondulatoria 

"Debido a que los fotones poseen características ondulatorias y corpusculares, quizá todas las formas de la materia también tengan propiedades ondulatorias y corpusculares " Louis Víctor de Broglie. 

Ondas guía de Broglie

Según  Broglie la longitud de onda y la frecuencia asociadas a una onda de materia en movimiento son: 

$$\lambda=\frac{h}{p}$$$$y$$$$\nu=\frac{E}{h}$$ en donde $p=\gamma m v$ y $E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}=\gamma^{2}m^{2}c^{4}$ son el momento y la energía relativístas. Esta onda asociada no es una onda electromagnética, es una onda que guía o le dice a la materia cómo moverse en el espacio. Experimentalmente es muy difícil tener un $\lambda$, $p$ y $\nu$ exactos, lo que se tiene es una combinación (no monocromático), por eso consideramos a $\lambda=\lambda_{0}+\Delta \lambda$ y de igual manera $\nu=\nu_{0}+\Delta \nu$, en donde $$\lambda=\frac{h}{p_{0}+\Delta p}=\frac{h}{p_{0}}\left( 1+\frac{\Delta p}{p_{0}}\right)^{-1}\approx \frac{h}{p_{0}}\left(1-\frac{\Delta p}{p_{0}} \right)$$ por lo tanto $$\Delta \lambda= \left | \frac{h \Delta p}{p_{0}^{2}}\right|$$ similar de hace para las demás cantidades

Experimento de Davisson-Germer

Con este experimento se probó sin querer la naturaleza ondulatoria de los electrónes propuesta por Broblie. El montaje experimental fue el siguiente: 

Fig. 3. Esquema del experimento de Davisson-Germer

En el experimento original Davisson-Germer quería saber cómo se distribuían los átomos de níquel policristalino bombardeando una muestra con electrones, sucedió un accidente en la cámara de vacío y el níquel se oxidó, para reducir el níquel se redujo con una corriente de hidrógeno, lo que hizo que la superficie se erosionara y quedaron algunos monocristales en la superficie, cuando realizaron el experimento de nuevo observaron un patrón de interferencia-difracción parecido al siguiente: 

Fig. 4. Difracción de electrones a 50kV por una película de $Cu_{3}Au$ de $400 \times 10^{-10}m$ de espesor. 

Gráficamente estos resultados se presentan como: 

Fig. 4. Gráfica polar de la intensidad de dispersión contra el ángulo de dispersión para electrones a  54eV

Si la energía de los electrones es muy grande no se puede utilizar la ecuación de interferencia $d \sin \theta = n \lambda$ sino la ley de Bragg $2d\sin\theta = n\lambda$ pues el electrón penetra más en la red cristalina e interfiere con más átomos. 

Experimento de la doble rendija

Con este experimento se logró observar que si se envía un haz de electrones a través de una rejilla de dos rendijas se observa un patrón de interferencia y que si se envían electrones individuales, también se obtiene el mismo patrón de interferencia, esto muestra la veracidad de la descripción del electrón como una onda, pues como se envía de a un electrón este debe pasar por las dos rendijas al mismo tiempo para poder generar el patrón observado. Sin embargo, cuando se  mide por cuál rendija pasó el electrón el patrón observado ya no es de interferencia, sino el esperado en el caso de que el electrón fuera una partícula.

Referencias: 

Raymond A. Serway. "Naturaleza corpuscular de la luz: el átomo de Bohr". Física Moderna. 3ra ed. Editorial Thomsom. pág  125-139. 

Raymond A. Serway. "Naturaleza corpuscular de la luz: Confirmación directa de los niveles de energía atómicos: el experimento de Frank-Hertz". Física Moderna. 3ra ed. Editorial Thomsom. pág  141-143. 

Raymond A. Serway. "Ondas de materia: ondas piloto de De Broglie". Física Moderna. 3ra ed. Editorial Thomsom. pág  152-154. 

Raymond A. Serway. "Ondas de materia: Experimento de Davisson-Germer". Física Moderna. 3ra ed. Editorial Thomsom. pág  154-158.