Aplicación de Clase#10 (ecuación de schrodinger)

 - Una aplicacón de la ecuación de schrodinger es el occilador ármonico cuántico, consideremos una "párticula" ( representada por la función de onda $ \psi (x) $ ) sometida a un potencial de la forma $U(x) = \frac{1}{2}k x^{2}$, la ecuación de schrodinger correspondiente es:

$ \frac{-\hbar^{2}}{2m}D_{x}^{2} \psi (x) + \frac{1}{2}k x^{2} \psi (x) = E \psi (x) $ 

o equivalentemente:

$ D_{x}^{2} \psi (x) - \frac{2m}{\hbar^{2}}(\frac{k}{2}x^{2}-E )\psi (x) = 0 $

proponemos una solución del tipo: $ \psi (x)\sim Ae^{-ax^{2}} $

$ \ddot{\psi}(x)=-2Aa(-2ax^{2}e^{-ax^{2}}+e^{-ax^{2}}) $

remplazando en la ecuación diferencial de schrodinger:

 $ -2Aa(-2ax^{2}e^{-ax^{2}}+e^{-ax^{2}})- \frac{2m}{\hbar^{2}}(\frac{k}{2}x^{2}-E )A e^{-ax^{2}}=0 $ 

reagrupando:

$x^{2}(4a^{2}-\frac{mk}{\hbar^{2}}) + (-2a+\frac{2mE}{\hbar^{2}}) = 0$ 

para que esta igualdad sea válida para todo x entonces debe cumplirse que:

$(4a^{2}-\frac{mk}{\hbar^{2}})=0  $ y  $(-2a+\frac{2mE}{\hbar^{2}}) = 0$

de estas 2 ecuaciones obtenemos:

$ a = (\frac{mk}{4\hbar^{2}})^{1/2}=\frac{\sqrt{mk}}{2\hbar}$

$E=\frac{a\hbar^{2}}{m} =\frac{\frac{\sqrt{mk}}{2\hbar}\hbar^{2}}{m} = \frac{\hbar}{2}\sqrt{\frac{k}{m}}$

este resultado es solo válido para el estado fundamental!.

La solución completa se puede obtener mediante una solución por series de potencias de la funcion de onda , sin embargo puede usarse el método de los operadores ecaleras para obtener los autovalores de las energias permitidas sin resolver la ecuación diferencial directamente , donde se llega a que:

$ E_{n}=(n+\frac{1}{2})\hbar \sqrt{\frac{k}{m}}$