Solución ejercicio clase #14: Espacio de estados y espacios duales. 2021-2

i) Hagamos actuar una combinación lineal del espacio dual sobre un elemento del espacio $V$ e igualemos a cero

$$\sum_i c_i e^{*i}(v) = 0$$

Con $v = \sum_{j}{v^{j}e_{j}}$

$$\sum_{ij} c_i e^{*i}(v^j e_j) = \sum_{ij} c_i v^j e^{*i}(e_j) = \sum_{ij} c_i v^j \delta_{ij}  = \sum_{j} c_j v^j = 0$$

Como $B$ es base, en esta igualdad los coeficientes $v^j$ no son necesariamente idénticos a cero, y por tanto para esta suma ser cero, cada coeficiente debe cumplir que $c_j = 0$. Lo cual, viendo la combinación lineal inicial, significa que los elementos de $B^{*}$ son linealmente independientes.

ii) Veamos como actúa el vector $f^*$ sobre v

$$f^*(v) = f^* (\sum_{i}{v^{i}e_{i}}) =  \sum_{i}{v^{i} f^*(e_{i})} =  \sum_{i}{v^{i}f^{*}_i}$$

Es condición que $e^{\ast i}(v) = v^{i}$ por tanto

$$f^*(v) = \sum_{i}{f^{*}_i e^{\ast i}(v)}$$ 

Lo cual demuestra que $f^*$ se puede escribir como

$$f^{\ast} = \sum_{i} f_{i}^{\ast} e^{\ast i}$$