Ejercicio clase # 12

 Demuestre la relación de completez del conjunto de funciones $u_{i}(\mathbf{r})$ si $u_{i}(\mathbf{r})$ es base de ${\mathfrak{F}}$

Solución.

Considerando la base formada por los vectores $u_{i}(\mathbf{r})$

para el conjunto de las funciones ${\mathfrak{F}}$

${\mathfrak{F}}$ se puede expresar como combinación lineal de las funciones de la

base dada.

$${\mathfrak{F}} = \sum_{i} C_{i}u_{i}(\mathbf{r})$$

Donde las constantes $C_{i}$ son las componentes de ${\mathfrak{F}}$.

Para calcular $C_{i}$ hay que multiplical la expresion de la ultima

ecuación por $u^{*}_{j}(\mathbf{r})$ y integrando sobre $\mathbf{r}$.

$$\int_{\mathbf{r}}{\mathfrak{F}}·u^{*}_{i}({\mathbf{r}})\ d{\mathbf{r}} =\int_{\mathbf{r}}\sum_{i}C_{i}u_{i}({\mathbf{r}})u^{*}_{j}({\mathbf{r}})\ d{\mathbf{r}}$$

Donde $u_{i}({\mathbf{r}})u^{*}_{j}({\mathbf{r}}) = \delta_{ij}$

$$\sum_{i}C_{i}\delta_{ij}=C_{j}$$

Cambiando ${j}$ por ${i}$ de la ultima expresión por ser indices mudos y

${\mathbf{r}}$ por ${\mathbf{r^{´}}} $.

La forma de $C_{i}$ queda como:

$$C_{i} = \int_{\mathbf{r}}{\mathfrak{F}}·u^{*}_{i}(\mathbf{r^{´}})\ d{\mathbf{r^{´}}}$$

Reemplazando esta ultima expresion en la primera ecuación.

$${\mathfrak{F}} = \sum_{i}\int_{\mathbf{r}}{\mathfrak{F({\mathbf{r^{´}}})}}·u^{*}_{i}(\mathbf{r^{´}})u_{i}(\mathbf{r})\ d{\mathbf{r^{´}}}$$

Podemos sacar $u_{i}({\mathbf{r}})$ de la integral y reorganizar.

$${\mathfrak{F}} =  \int_{\mathbf{r}}{\mathfrak{F({\mathbf{r^{´}}})}}\Bigl(\sum_{i} u_{i}(r)u^{*}_{i}(\mathbf{r^{´}})\Bigr)\ d{\mathbf{r^{´}}}$$

pero ${\mathfrak{F}}$ tambien se puede escribir como $${\mathfrak{F}} =\int_{\mathbf{r}}{\mathfrak{F({\mathbf{r^{´}}})}}\delta({\mathbf{r}}- {\mathbf{r^{´}}}) \ d{\mathbf{r^{´}}}$$

Comparando las dos ultimas integrales se concluye que 

$$\boxed{\sum_{i}u_{i}(r)u^{*}_{i}(\mathbf{r^{´}}) = \delta({\mathbf{r}}- {\mathbf{r^{´}}})}$$