Ejercicio clase #18. Bras y Kets

Considere un espacio tridimensional de Hilbert con base ortonormal {$|1>, |2>, |3>$}. Dadas dos constantes complejas $a$ y $b$ se definen los ket's como:

$$|\psi> = a|1> - b|2> + a|3>$$

$$|\phi> = b|1> + a|2>$$

(a) Escriba el bra asociado a los kets $|\psi>$ y $|\phi>$. 

(b) Calcule $<\phi|\psi>$ y $<\psi|\phi>$. Verifique la propiedad $<\phi|\psi> = <\psi|\phi>^* $.

(c) Sea $A = |\phi><\psi|$. Encuentre la matriz de orden $3x3$ que representa a $A$ en la base dada. 

(d) Sea $Q = |\psi><\psi| +  |\phi><\phi|$. Es $Q$ hermítico? 

--> Realizar la parte (d) de dos formas: la primera utilizando las propiedades vistas en clase y partir del hecho de que representa un operador hermítico, la segunda hacerlo en términos matriciales como se hizo en (c). 

Problema tomado de Quantum physics II (8.05) Fall 2013, assignment  IV. MIT opencourseware.