Aplicación Clase #15 : 8-Febrero-2022 - Cambios de base

 Matriz de Rotación

La matriz de rotación representa una matriz cambio de base para las coordenadas entre el sistema cartesiano y el polar. Muy útil por ejemplo en el caso 2-dimensional: si se sabe inicialmente las posiciones de un objeto en coordenadas cartesianas y se realiza una rotación de $\theta$ grados respecto al eje $z$, la posición final del objeto en coordenadas cartesianas se determina a través de la matriz de rotación, mediante de la siguiente relación:

$\begin{pmatrix}x_{f} \\ y_{f} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} &  \cos{\theta} \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}x_{i} \\ y_{i} \end{pmatrix}$ 

Donde $R(\theta) = $ $\begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} &  \cos{\theta} \end{pmatrix}$ es la matriz de rotación; $x_{i}, y_{i}$ las posiciones iniciales del objeto en dos dimensiones y $x_{f}, y_{f}$ las posiciones finales del objeto (luego de haber realizado la rotación).

Figura 1. Objeto en rotación en un espacio 2-dimensional

En el caso más general, en un sistema de coordenadas tridimensional las siguientes 3 matrices (matrices cambio de base) de rotaciones permiten obtener la posición final de un objeto en un espacio tridimensional al ser sometidos a rotaciones respecto a cualquier eje del sistema.

$$ R_{Z}(\theta) = \begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0 \\ \sin{\theta} &  \cos{\theta} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$$ R_{X}(\theta) = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 &  \cos{\theta} & -\sin{\theta}\\ 0 &\sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}$$

$$ R_{Y}(\theta) = \begin{pmatrix} \cos{\theta} & 0 & \sin{\theta} \\ 0 &  1 & 0\\ -\sin{\theta} & 0 & \cos{\theta} \end{pmatrix}$$

La primera matriz nos dá una rotación alrededor del eje-z, la segunda matriz nos dá una rotación alrededor del eje-x, y la tercera matriz nos dá una rotación alrededor del eje-y. Las rotaciones indicadas por estas tres matrices son rotaciones válidas para cualquier ángulo, independientemente de su magnitud.

Figura 2. Rotación en el espacio tridimensional

Las matrices de rotación representan las rotaciones de manera concisa y se usan frecuentemente en geometría, física e informática.

Refrencias

• http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com/2009/08/la-matriz-generadora-de-rotacion.html
• https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_de_rotaci%C3%B3n
• https://es.wikipedia.org/wiki/Rotaci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)
• https://es.slideshare.net/camiloasilva3/rotacin-matricial