Tipos de Degeneración y Simetrías
Degeneración y Simetría
El origen físico de la degeneración de los niveles de energía correspondientes al operador Hamiltoniano en un sistema mecánico - cuántico, puede deberse en algunos casos a la presencia de alguna simetría en el sistema. Estudiar como es esta simetría permite bajo ciertas condiciones encontrar los niveles de energía sin resolver directamente la ecuación de Schrödinger.
Dichas simetrías normalmente ocasionan la conservación de alguna cantidad física en el sistema, cómo por ejemplo la simetría esférica tiene como consecuencia la conservación del momento angular, pues para varios estados con diferentes componentes del momento angular en la dirección z poseen el mismo momento angular total y la misma energía.
Para ver esto un poco en forma matemática consideremos un operador unitario S (S = S $^{\dagger}$) el cual tiene asociada alguna operación de simetría. Bajo dicha operación, el Hamiltoniano obtenido H' se relaciona con el Hamiltoniano original H mediante una transformación de similaridad: H' = SHS$^{-1}$ = SHS$^{\dagger}$.
Si el Hamiltoniano permanece invariante bajo la transformación, se tiene que:
H' = H = SHS$^{\dagger}$ = SHS$^{-1}$
De donde se deduce que: HS = SH, i.e, [S, H] = 0
Ahora, si $|\alpha>$ es un auto estado de energía: H $|\alpha>$ = E $|\alpha>$, y se sigue que:
HS $|\alpha>$ = SH $|\alpha>$ = SE $|\alpha>$ = ES $|\alpha>$
Es decir, S $|\alpha>$ también es un auto estado de energía con autovalor E. Luego, si E y $|\alpha>$ son linealmente independientes (ósea físicamente distintos), son por lo tanto auto estados degenerados.
E conjunto de todos los operadores que conmutan como el Hamiltoniano (como por ejemplo los operadores unitarios S) forman el llamado Grupo de Simetría del Hamiltoniano y la invarianza del Hamiltoniano es consecuencia de un lema bastante matemático y complejo conocido como el Lema de Schur.
Tipos de Degeneración:
La degeneración de un sistema cuántico puede ser principalmente "sistemática" o "accidental":
La primera corresponde a lo que ya mencionamos anteriormente: la presencia de una simetría en el sistema que conlleva la invarianza del Hamiltoniano bajo alguna operación.
Por otro lado, la degeneración "accidental" surge debido a que existen algunos niveles que no son degenerados como consecuencia de la simetría, pero que aún así presentan los mismos valores de energía. Es decir, la degeneración esta posiblemente asociada a una simetría oculta en el sistema que resulta también en cantidades que se conservan pero que pueden ser no fáciles de identificar.
Un ejemplo clásico es el de una partícula sometida a un potencial central $1/r$, (problema de Kepler) en este caso el vector de Laplace-Runge-Lenz surge como una cantidad conservada resultada de una degeneración accidental pues a diferencia de la conservación del momento angular momento angular, este no se deduce directamente de la invarianza rotacional (simetría esférica).
La formulación del problema de Kepler en mecánica cuántica corresponde al átomo de Hidrógeno, en el cual sus estados se caracterizan acorde a los tres números cuánticos m (momento angular en z) l (momento angular) y n (número cuántico total). Sabemos que la energía solo depende de este último y no de l y/o m, así como que la simetría esférica (conservación del momento angular) solo depende de m. Sin embargo, lo que se observa es que existen más estados degenerados de los que se esperarían solo con la conservación del momento angular.
Otro caso de simetría accidental consiste en el movimiento en orbitas circulares de una partícula bajo la influencia de un campo magnético uniforme. El resultado es que las partículas cargadas solo pueden ocupar órbitas con niveles de energía discretos y equidistantes entre sí, donde el número de electrones es proporcional a la intensidad del campo aplicado. Dichos niveles son degenerados y se conocen como Niveles de Landau.
Referencias:
[2]: McIntosh, H. V. (1959). On accidental degeneracy in classical and quantum mechanics. American Journal of Physics, 27(9), 620-625.
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