Ejercicio Clase #17 (2022-1)

 

Muestre que:

a) el determinante de un operador permanece invariante bajo transformaciones de similaridad.

b) un operador hermítico permanece hermítico bajo una transformación de similaridad unitaria.

Propuesto por: Valentina Pérez Cadavid.

Solución.

Sean $ \hat{T} $ y $\hat {\tilde{T}}$ operadores tales que $ \hat{T}  = A\hat {\tilde{T}}A^{-1}$ (transformación de similaridad)

a) Se tiene que det( $ \hat{T} $ ) = det($ A\hat {\tilde{T}}A^{-1} $). 

Por un resultado del álgebra lineal sabemos que det( $ AB $ ) = det( $BA $ ), así se tiene que

 det( $ \hat{T} $ ) = det($ A\hat {\tilde{T}}A^{-1} $) =  det($A^{-1} A\hat {\tilde{T}} $)  = det($\hat {\tilde{T}}$)

Así el determinante de  $ \hat{T} $ permanece invariante bajo transformaciones de similaridad.

b) Sea  $ \hat{T} $ un operador hermitico, es decir $ \hat{T} = \hat{T}^{\dagger} $ y que transforma como  $ \hat{T}  = S\hat {\tilde{T}}S^{\dagger}$ (S es unitaria).

Entonces como  $ \hat{T} $ es hermitico,  $ \hat{T} ^{\dagger} = (S\hat {\tilde{T}}S^{\dagger})^{\dagger}$, por resultado del álgreba lineal tenemos que  $ (AB)^T = A^TB^T $, así

$ \hat{T} ^{\dagger} = (S\hat {\tilde{T}}S^{\dagger})^{\dagger} $

$ \hat{T} ^{\dagger} =S(S\hat{\tilde{T}})^{\dagger} = S \hat{\tilde{T}}^{\dagger}S^{\dagger}$ 

Teniendo en cuenta que $ \hat{T} $ es hermitico, se sigue que

$ \hat{T} ^{\dagger} = \hat{T} =  S\hat {\tilde{T}}S^{\dagger} = S \hat{\tilde{T}}^{\dagger}S^{\dagger} $

Como S es unitaria, entonces

$ S^{\dagger}S\hat {\tilde{T}}S^{\dagger}S =S^{\dagger}S \hat{\tilde{T}}^{\dagger}S^{\dagger} S$

Así $\hat {\tilde{T}} = {\tilde{T}}^{\dagger}$