Clase 22: Reglas de Cuantización, Varianza y Conservación de la Probabilidad

 Luego de enunciados los postulados de la mecánica cuántica, se estableció el formalismo a partir del cual, dada  una cantidad física $\mathscr{A}$  bien definida en el caso de la mecánica clásica,  como se construye el operador $\hat{A}$ que describe esta cantidad en el caso cuántico. 

Considere un sistema compuesto por una sola partícula, sin espín, sometida a un potencial. En este caso, un enuciado importante que se trae a colación de la clases anteriores es que: la posición de la partícula tiene $\vec{r}(x, y, z)$ tiene asociado un observable $\textbf{R}(X, Y, Z)$. Similarmente al vector momento, $\vec{p}$ le corresponde el operador $\textbf{P}(P_x, P_y, P_z)$

Donde se sabe que los operadores $\textbf{R}$ y $\textbf{P}$ no son compatibles, pues su conmutador obedece la relación canónica de conmutación $[R_i, P_j] = i \hbar \delta_{ij} $. Es por esto que, a diferencia de la mecánica clásica, donde la posición y el momentum lineal están asociados simplemente a variables dinámicas $\vec{r}$ y $\vec{p}$ que  satisfacen que $\vec{r} \cdot \vec{p} = \vec{p} \cdot \vec{r}$,  plantear su formulación en mecánica cuántica dada la no conmutatividad, se debe agregar una regla de simetrización que cumpla la condición de Hermitcidad (dado que sus autovalores son reales). El observable asociado al producto escalar enunciado cuánticamente es: 

$$ \frac{1}{2} ( \vec{R} \cdot \vec{P} + \vec{P} \cdot \vec{R} ) $$

Se tiene el siguiente enunciado de gran importancia: 

El observable \hat{A} que describe una cantidad física clásica bien definida $\mathscr{A}$ se obtiene reemplazando  $\vec{r}$ y $\vec{p}$ por $\vec{R}$ y $\vec{P}$ en la expresión simetrizada de $\mathscr{A}$.

\textbf{Ejemplo}: Un ejemplo sencillo de esto es el Hamiltoniano para una partícula en un potencial escalar; clásicamente se tiene que el Hamiltoniano corresponde a la energía de la patícula:

$$ \mathscr{H}(\vec{r}, \vec{p}) = \frac{\vec{p}^2}{2m} + V(\vec{r}) $$  

Dado que no hay productos escalares entre la posición y el momento, la simetrización es trivial y por tanto su correspondiente cuántico es:

$$ H = \frac{\hat{P}^2}{2m} + V(\hat{R}) $$

Valor Medio de un Observable en un Estado Dado

Los resultados del cuarto postulado de la mecánica cuántica se enuncian en términos de probabilidades, por lo que su verificación requeriría de la realización de un mismo experimento con las mismas condiciones un gran número de veces.

Este carácter estadístico nos lleva a enunciar nuevamente el valor medio de un observable: 

$$ <A>_{\psi} = <\psi | A | \psi > $$

Donde si consideramos el espectro discreto de A, dadas N medidas de A en el estado $|\psi>$, se obtendrá $\mathscr{N}(a_n)$ veces el autovalor $a_n$ :

$$ \frac{\mathscr{N}(a_n)}{N} \rightarrow \mathscr{P}(a_n) $$ 

Para $N \rightarrow oo $. 

Se define ahora otro observable que da cuenta de la dispersión de los resultados esperados cuando se mide el observable A. Se define la varianza como: 

$$ (\Delta A)^2 = <A^2> - <A>^2 = <\psi | \Delta A| \psi> $$ 

Y se tiene como resultado importante que, si al realizar una medida la dispersión es nula, el sistema se encuenta en un estado que es autoestado del observable. 

Además de que, para dos observables \hat{A} y \hat{B} que no conmutan, se tiene también una relación de variables canónico - conjugadas: 

$$ \Delta A \Delta B \geq \frac{\hbar}{2} $$ 

Y se tiene el principio de primera cuantización: $[A, B] = i \hbar$. 

Es importante recalcar que el conmutador de dos operadores representa una medida del ordenamiento y el orden de las operaciones. En el caos en que dos observables conmuten, En el caso en que los observables conmuten, [A, B] = 0, los observables son compatibles y por tanto se pueden medir simultáneamente.  

Conservación de la Probabilidad 

La ecuación de Schrödinger $i \hbar \frac{d}{dt}|\psi(t)> = H(t)|\psi (t)>$ es una ecuación diferencial en t. Dado un estado inicial |\psi (t_0)>, el estado |\psi (t)> puede determinarse en cualquier tiempo subsecuente t. Es decir, no hay una una indeterminación en la evolución temporal de un sistema cuántico; la indeterminación aparece cuando una cantidad física es medida y el vector de estado sufre una modificación impredecible. Sin embargo, entre dos medidas, el vector de estado evoluciona en una forma perfectamente determinista acorde a la ecuación de Schrödinger. 

La norma de un auto estado permanece constante: Dado que el Hamiltoniano es un operador Hermítico, el cuadrado norma del vector de estado no depende del tiempo, i.e, $\frac{d}{dt} <\psi (t) | \psi (t)> = 0$.

Esta propiedad es de suma importante pues es la que permite interpretar el modulo de la función de onda de una partícula sin espin: $|\psi(\vec{r}, t) |$^2 como la densidad de probabilidad, cuya función densidad de probabilidad está normalizada. 

Conservación Local de la probabilidad: Para el caso de un sistema físico compuesto de una partícula de espín 1, la probabilidad de encontrar dicha partícula en un volumen infinitesimal de volumen, localizado en una región $\vec{r}$ es: 

$$ d\mathscr{P}(\vec{r}, t) = \rho(\vec{r}, t)d^3r = |\psi(\vec{r}, t)|^2 $$ 

Y del enunciado anterior sabemos que dicha probabilidad permanece constante. Esto no significa precisamente que $\rho(\vec{r}, t)$ es independiente del tiempo en todo el espacio, sino que, en una analogía al caso electromagnético, cuando se tiene un sistema físico aislado con una distribución de carga volumétrica, la carga total se conserva en el tiempo, pero localmente la distribución espacial de la carga es libre de variar y producir corrientes. Así, al tener un volumen V, delimitado por una superficie S, la variación temporal de la densidad de carga en el volumen V debe ser igual al flujo de densidad de corriente $\vec J(\vec{r}, t) $ que entra o sale de la superficie. De aquí se obtiene la famosa ecuación de continuidad: 

$$ \frac{\partial  }{\partial t} \rho(\vec{r}, t) + \nabla  \cdot J = 0 $$

Para el caso cuántico entonces  nos referiremos a un vector $\vec J(\vec{r}, t) $ densidad de probabilidad, el cual junto a la densidad de probabilidad \rho(\vec{r}, t), conlleva a una conservación local de la probabilidad.