Problema Clase #21

a) Encuentre los estados estacionarios de una partícula en un pozo de potencial infinito de ancho $a$. 

b) Encuentra la representación  momento del estado de mínima energía.

c) Calcule el momento promedio del estado estacionario arbitrario.

Solución ejercicio: 

Para el pozo de potencial infinito se asume que $V(x)$ es cero para la región $0<x<a$ e infinito en cualquier otra región. De la ecuación de Schröndinger se tiene: 

$$\frac{- \hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{dx^2} + V_o\psi = E\psi$$ 

Despejando: 

$$\frac{d^2 \psi}{dx^2} = \frac{2m}{\hbar^2}(V_o - E)\psi$$

Luego: 

$$\frac{d^2 \psi}{dx^2} = -\frac{2m}{\hbar^2}(E- V_o)\psi$$

Por hipótesis $V_o = 0$ en la región $0<x<a$. Así, se puede definir una nueva variable $k$ como: 

$$k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$$

Por otro lado, la función de onda $\psi(x)$ debe ser cero fuera del intervalo $(0,a)$ y continua en las paredes $x=0$ y $x=a$. Así, dado que: 

$$\frac{d^2 \psi}{dx^2} = -k\psi$$ 

Se tiene como solución: 

$$\psi(x) = A e^{ikx} - A'e^{-ikx} \\ =Acos(kx) + Aisin(kx) - Acos(kx) + Aisin(kx) \\ =2Aisin(kx)$$

Lo anterior es debido al hecho de que $\psi(0)=0$, de lo cual se puede deducir que $A' = A$. Adicionalmente, la condición de que $\psi(a)=0$ permite obtener $k = \frac{n\pi}{a}$. Por lo tanto, la función de onda queda: 

$$\psi(x) = 2Aisin(\frac{n\pi x}{a})$$ 

Recordando que  $k = \frac{n\pi}{a}$ se puede encontrar la energía, dado que la energía dentro del pozo solo sería energía cinética. Donde esta se puede escribir como $E = \frac{P^2}{2m}$ y por hipótesis de Broglie $P = \frac{h}{\lambda} = \frac{2\pi h}{2 \pi \lambda} = \hbar k$. Así, los estados estacionarios de la partícula se pueden escribir como: 

$$E_n = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2ma^2}$$ 

Para desarrollar el item b) y c) se toma la función de onda normalizada, la cual se puede escribir como: 

$$\psi(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} sin(\frac{n\pi x}{a})$$

Ahora se considera que la partícula en un estado $|\psi_n>$ con energía $E_n$. La propabilidad de una medida del momento $P $ de una partícula entre $P$ y $P + dP$ es: 

$$\bar{P_n}(p)dp = |\bar{\psi(p)}|^2 dp $$

con $\bar{\psi_n}(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}} \int_{0}^{a} \sqrt{\frac{2}{a}} sin(\frac{n\pi x}{a}) e^{-ipx/\hbar}dx $, donde el resultado de esta integral es: 

$$ \bar{\psi_n}(p) = \frac{1}{2i\sqrt{\pi \hbar a}} \int_{0}^{a} [e^{i (n\pi /a - p/\hbar)x} - e^{-i(n \pi /a + p/\hbar)x}]dx$$

Definiendo la función $F(p) = \frac{sin(pa /2\hbar)}{pa/ 2\hbar}$ y evaluando la integral se tiene: 

$$\bar{\psi_n}(p) =  \frac{1}{2i\sqrt{\pi \hbar a}}[\frac{e^{i(n\pi/a - p/\hbar)a} -1}{i (n\pi /a - p/\hbar)} - \frac{e^{-i(n\pi/a + p/\hbar)a} - 1}{-i(n\pi/a + p/\hbar)}]$$

Se puede verificar que la función dentro de corchetes dentro de la ecuación atenrior es par si $n$ es par y par si $n$ es impar. 

Por tanto la densidad de probabilidad es una función impar de $p$ en todos los casos. Así: 

$$<P>_n = \int_{-\infty}^{+\infty} \bar{P_n}(p) p dp = 0$$

Así, el valor medio del momento de la partícula en un estado de energía es cero. 

Otra forma de desarrollar el problema es partiendo directamente de la definición del valor esperado en la representación posición: 

$$<P> = \int_{0}^{a}  \psi^*_n (x) (-i\hbar \frac{d}{dx} \psi_n(x) dx) \\= \int_{0}^{a} (\frac{2}{a})^{1/2} sin(n\pi x/a) (-i\hbar \frac{d}{dx}) (\frac{2}{a})^{1/2} sin(n\pi x/a) dx \\ = -i\hbar (2/a) (n\pi /a) \int_{0}^{a} sin(n\pi x /a) cos(n\pi x/a) dx \\= 0$$

Resuelto por: César A. Hoyos.