Ejercicio clase # 20 (Febrero 24 2022): Álgebra de operadores. 2021-2

 $i).$ Sea la matriz $\sigma_{2}$ dada por:

$\sigma_{2} = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i  & 0\end{pmatrix}$ 

Mostrar que: 

$$e^{-i\phi\sigma_{2}} = cos\phi \mathbb{I}_{2 \times 2} - i \sin \theta \cdot \sigma_{2}$$

$ii).$ Mostrar que si $[A,B] = 0$, entonces:

$$e^{A}e^{B} = e^{B}e^{A} = e^{A+B}$$

Solución:

En general, la expasión de Taylor de la función exponencial se puede escribir como

$$ e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} $$

Luego, podemos proponer

$$e^{-i\phi\sigma_{2}} = \mathbb{I} + i\sigma_{2}(-\phi) + i^{2}\frac{\sigma_{2}^{2}}{2!}(-\phi)^{2} + i^{3}\frac{\sigma_{2}^{3}}{3!}(-\phi)^{3} +  i^{4}\frac{\sigma_{2}^{4}}{4!}(-\phi)^{4} + ... $$

Podemos reacomodar la expresión en una parte real y otra imaginaria

$$e^{-i\phi\sigma_{2}} = [\mathbb{I} - i^{2}\frac{\sigma_{2}^{2}}{2!}(-\phi)^{2} +  i^{4}\frac{\sigma_{2}^{4}}{4!}(-\phi)^{4} + ... ] + i[i\sigma_{2}(-\phi) - i^{3}\frac{\sigma_{2}^{3}}{3!}(-\phi)^{3} + ...]$$

 Podemos reconocer en la parte real la expansión en series de Taylor de la función coseno y en la parte imaginaria la expansión de la función seno, sacando un signo - por la paridad de la función. Así, reescribiendo

$$ e^{-i\phi\sigma_{2}} =  \mathbb{I}cos\phi - i\sigma_{2}sin\phi $$

2)

$$ e^{A}e^{B} = \sum \frac{A^{n}}{n!}\sum\frac{B^{n}}{n!} $$

$$\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^{m}B^{n}}{m!n!}$$

A partir de esta expresión es evidente que si $AB = BA$ luego $e^{A}e^{B} = e^{B}e^{A}$

Haciendo $l=m+n$ como consecuencia de que $[A,B] = 0$

$$\sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{l}\frac{A^{m}B^{l-m}}{m!(l-m)!}$$

$$\sum_{l=0}^{\infty}\frac{1}{l!}\sum_{m=0}^{l} \frac{l!}{m!(l-m)!}A^{m}B^{l-m}$$

$$\sum_{l=0}^{\infty} \frac{(A+B)^{l}}{l!}$$

$$e^{A+B}$$

Solucionado por: Sebastián Montoya Hernández