Ejercicio Clase 20

 Ejercicio sobre la varianza de un observable cuántico:

La varianza de un observable cuántico $A$ se define como:

$$ (\Delta A)^2 = \langle (A-\langle A \rangle)^2 \rangle _\psi $$

Demostrar que esta definición lleva a la forma usada convencionalmente para la varianza de $A$:

$$ Var(A) =  \langle A^2 \rangle - \langle A \rangle^2$$

Propuesto por Jerónimo Calderón Gómez.

Basado en los contenidos de Cohen-Tanoudji, Diu, Laloë. "Quantum Mechanics Vol. 1", 2 ed. (2019).

Solución por Ximena Cano Gómez 

Para cada medida, se toma la diferencia entre el valor obtenido y $\langle A \rangle$ 

$\langle A - \langle A \rangle \rangle= \langle A \rangle - \langle A \rangle = 0$

Por la propia definición de $\langle A \rangle$, el promedio de las desviaciones negativas equilibra exactamente el promedio de las positivas.

Para evitar esta compensación, basta con definir $\Delta A$ tal que $(\Delta A)^2$ es la media de los cuadrados de las desviaciones. 

Por definición: 

$\Delta A = \sqrt{\langle (A - \langle A \rangle)^2 \rangle}$

Usando la expresión para el valor medio tenemos: 

$\Delta A = \sqrt{\langle \psi | (A - \langle A \rangle)^2| \psi \rangle}$

Esta relación también se puede escribir de una manera ligeramente diferente de la siguiente manera: 

$\langle( A - \langle A \rangle)^2\rangle = \langle( A^2 - 2 \langle A \rangle A + \langle A \rangle^2)\rangle$

$= \langle A^2 \rangle - 2\langle A \rangle^2 + \langle A \rangle ^2$

$=\langle A^2 \rangle - \langle A \rangle ^2$

Por lo tanto, la desviación de la raíz cuadrada media $\Delta A$ se puede escribir como: 

$\Delta A = \sqrt{ \langle A^2 \rangle -  \langle A\rangle^2}$