Clase 37: Precesión de Larmor y acople Spin-Órbita

         Cuando el campo magnético tiene una dirección $\hat{u}$ el haz sometido al polarizador nos entrega uno cuyos autoestados dependen de la dirección de $\hat{u}$, luego podemos describir los autoestados como $$| + \rangle_u = cos\frac{\theta}{2} e^{-i\phi /2}| + \rangle + sin\frac{\theta}{2} e^{i\phi /2}| - \rangle $$ $$| - \rangle_u = -sin\frac{\theta}{2} e^{-i\phi /2}| + \rangle + cos\frac{\theta}{2} e^{i\phi /2}| - \rangle $$ Veamos la representación grafica de $\hat{u}$:

Con $\theta \in [0, \pi]$ y $\phi \in [0. 2 \pi)$. Si vamos de $\hat{u}$ a $\hat{u'}$ al rotarlo $\frac{\pi}{2}$ con $\phi = 0$ tenemos que $\langle_u + | + \rangle_{u'} \neq 0$, luego los estados son colineales y no perpendiculares. El profesor comento que a lo que llamamos el brillo es a la posibilidad de encontrar $\frac{\hbar}{2}$ o -$\frac{\hbar}{2}$.

Precesión de Larmor: 

 Cuando tenemos partículas con momento angular, carga y campos magnéticos, tenemos una precesión. El spin es un vector en $R^3$ al igual que $\langle \vec{S}\rangle$. Se dice que esl spin apunta en la dirección de $\hat{u}$. $\langle \vec{S}\rangle$ nos da $\langle S_x\rangle$, $\langle S_y\rangle$ y $\langle S_z\rangle$.

Con $\vec{S}$ y q tenemos un momento magnético $$\vec{\mu} = \gamma \vec{\mathcal{S}}$$ Si adicionalmente ponemos un campo magnético externo obtenemos un acople que nos da la siguiente energía: $$U = -\vec{\mu}.\vec{B}$$ Es común que $\vec{B}$ se de en dirección z, es decir, $\vec{B_z}$. El acople se da entre el spin y $\vec{B}= B_0 \hat{e_z}$, luego $$U = -\gamma B_0 \mathcal{S}_z$$ Esta energía da lugar a un Hamiltoniano proporcional a S_z ; $$H = \omega_0 S_z$$, Luego tenemos $H | + \rangle = \frac{\hbar \omega_0}{2}| + \rangle$ y $H | - \rangle = -\frac{\hbar \omega_0}{2}| - \rangle$. Hablemos ahora del átomo de Bohr al estilo de los libros de física moderna. Supongamos un electrón en una orbita con los números cuánticos (n, l, m) y como tiene spin, estos números serán ahora (n, l, m, $\pm \frac{1}{2}$). $\vec{L} + \gamma \vec{S}$ será el momento angular total.

Acople Spin-órbita

Cuando un electrón orbita alrededor de un núcleo con cierto valor de $L_z$ supongamos que nos paramos en el electrón, allí veremos al protón girar de manera análoga a como vemos al sol girar alrededor de la tierra, luego se puede ver una espira con una corriente, en su centro se produce un campo magnético, esto asumiendo que quien gira es el protón, así un nuevo acople $U = -\vec{B}.\vec{S}$ nos entrega saltos de energía. Esto da lugar a lo que se conoce como estructura fina. Por otro lado el spin nos da una distinción entre partículas con spin semi entero y partículas con spin entero. Con el spin semi entero asociamos a los fermiones y con spin entero a los bosones. Si tengo dos partículas idénticas: $(e^-, e^-)$, $(P^+, P^+)$, $(n^0, n^0)$, $(\vec{r}_1, \vec{r}_2)$, se pueden intercambiar posiciones y la medida que se haga debe ser igual ante este cambio: $$\left|\psi (\vec{r}_1, \vec{r}_2)\right|^2 = \left|\psi (\vec{r}_1, \vec{r}_2)\right|^2$$ Pues se hace con el modulo cuadrado. Para la función de onda se tiene que si el spin es semientero la función es antisimétrica, es decir $\psi_{12} = \psi_{21}$ Y si el spin es entero se tiene una función de onda simétrica. Estas dos características nos entregan dos tipos de comportamientos muy distintos, si el spin es semi entero las partículas siguen la regla se exclusión de Pauli. Si el spin es $\frac{1}{2}$ no hay dos partículas en el universo que compartan exactamente los mismos números cuánticos, por su parte las de spin entero si los pueden compartir.