Ejercicio Clase 12

 Ejercicio sobre hermiticidad de operadores:

Demostrar que si $\hat{A}$ y $\hat{B}$ son hermíticos entonces $\hat{A} \hat{B}$ será hermítico si y solo si $[\hat{A}, \hat{B}]=0$

Propuesto por Jerónimo Calderón Gómez.

Solución por Ximena Cano Gómez

Primero vamos a probar que se cumple en el sentido $\rightarrow$, eso significa que si $\hat{A}\hat{B}$ es hermítico, entonces [$\hat{A}, \hat{B}$]=0.

Que $\hat{A}\hat{B}$ sea hermítico significa que $\hat{A}\hat{B} = (\hat{A}\hat{B})^{\dagger} = \hat{B}^{\dagger}\hat{A}^{\dagger}$

Como $\hat{A}$ y $\hat{B}$ son hermíticos entonces $\hat{A} = \hat{A}^{\dagger}$ y $\hat{B} = \hat{B}^{\dagger}$

$\hat{A}\hat{B} = \hat{B}^{\dagger}\hat{A}^{\dagger} = \hat{B}\hat{A}$

Entonces $\hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} = [\hat{A}, \hat{B}] = 0$

Ahora miremos la otra dirección, si $[\hat{A}, \hat{B}]=0$ entonces $\hat{A}\hat{B}$ es hermítico.

$[\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}$

Como $\hat{A}$ y $\hat{B}$ son hermíticos, entonces $\hat{A} = \hat{A}^{\dagger}$ y $\hat{B} = \hat{B}^{\dagger}$

$\hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}^{\dagger}\hat{A}^\dagger = 0$

$\hat{A}\hat{B} = \hat{B}^{\dagger}\hat{A}^\dagger =(\hat{B}\hat{A})^\dagger$

por tanto $\hat{B}\hat{A}$ es hermítico

Por lo cual queda demostrado que si $\hat{A}$ y $\hat{B}$ son hermíticos entonces $\hat{A}\hat{B}$ es hermítico si y sólo si $[\hat{A}, \hat{B}] = 0$