Clase 31: Algunos ejemplos con el momento angular

 El módulo del momento angular estará dado por:

$$L^2=-\hbar^2 \left(\frac{\partial^2 }{\partial \theta^2}+\frac{1}{tan\theta}\frac{\partial }{\partial \theta}+\frac{1}{sen^2\theta}\frac{\partial^2 }{\partial \phi^2}\right)$$

Y los operadores $L_+$ y $L_-$ estarán dados por:

$$L_+=L_x+iL_y=\hbar e^{i\phi}\left(\frac{\partial }{\partial \theta}+icot\frac{\partial }{\partial \theta}\right)$$

$$L_-=L_x-iL_y=\hbar e^{-i\phi}\left(-\frac{\partial }{\partial \theta}+icot\frac{\partial }{\partial \theta}\right)$$

Que en $\theta=0,\pi$ no están definidos.

Además, teniendo que podemos separar la función de onda en dos funciones de la forma $\Psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y(\theta,\phi)$ y que el momento en z será $L_z=-i\hbar\frac{\partial }{\partial \phi}$, la solución de $Y$ será:

$$Y(\theta,\phi)=\Theta(\theta) e^{im\phi}$$

Para que esta sea univaluada, $m$ debe ser entero y por tanto $j=l$ también lo será. Por esto $m$ se conoce como el momento angular orbital y $-l \leq m \leq l$. Con esto conseguimos que:

$$L_+Y_{ll}=0$$

$$\Theta(0)=C_l(sen\theta)^l$$

$$Y_{ll}=C_l(sen\theta)^l e^{il\theta}$$

$$L_\pm Y_{lm}(\theta,\phi)=\hbar \sqrt{l(l+1)-m(m+1)}Y_{l,m\pm 1} $$

Además, $\Psi_{klm}=R_{klm}(r)Y_{lm}(\theta,\phi)$ con R que sólo depende de $k$ y $l$. 

Ahora, si preparamos un sistema en un autoestado $L^2=l(l+1)\hbar^2$ y en un autoestado de $L_z=m\hbar$, entonces se mantienen las relaciones: $\langle L_x \rangle=0$, $\Delta L_x \neq 0 \neq \Delta L_y$, es decir, el sistema tiene que tener precesión porque estos dos últimos términos nunca son $0$. En particular $\Delta L_y=\hbar \sqrt{\frac{l(l+1)-m^{2}}{2}}$. 

Rotor Rígido

Para el sistema mostrado en la figura donde los dos cuerpos unidos por una barra rotan, el hamiltoniano clásicamente será:

$$H=\frac{1}{2} I \omega^2=\frac{L^2}{2I}=\frac{L^2}{2\mu r_e^2}$$

Cuánticamente:

$$H|l,m \rangle =\frac{\hbar^{2} l (l+1)}{2\mu r_e^2}|l,m \rangle  $$

$$E_l=\hbar l (l+1) B$$

Con $B=\frac{\hbar}{4\pi \mu r_e^2}$. La energía está cuantizada y depende del número cuántico $l$.

$$\Delta E=2B\hbar l= h\nu$$

Esto quiere decir que hay unas frecuencias permitidas llamadas frecuencias de Bohr.

Oscilador Armónico Bidimensional

Un Oscilador Armónico Bidimensional es un sistema con momentum angular. En particular si el movimiento está descrito por:

$$X=Acos(wt)$$

$$Y=Bsen(wt)$$

El Hamiltoniano será:

$$H=H_x+H_y=\frac{p_x^2}{2m}+\frac{1}{2}mw^2x^2+\frac{p_y^2}{2m}+\frac{1}{2}mw^2y^2$$

La energía total será:

$$E_n=E_{nx}+E_{ny}=(n_x+1/2) \hbar w+(n_y+1/2) \hbar w$$

Se observa que hay degeneración porque se puede obtener el mismo $N$ para combinaciones de $n_x$ y $n_y$. Para esto introducimos el momento angular, definiendo:

$$a_x=\frac{1}{\sqrt 2}\left(\beta x + i \frac{p_x}{\beta \hbar}\right)$$

$$a_y=\frac{1}{\sqrt 2}\left(\beta y + i \frac{p_y}{\beta \hbar}\right)$$

Con $[a_x,a_y]=0$. $L_z$ y $H_{xy}$ serán:

$$L_z=x p_y - y p_x$$

$$L_z=i\hbar(a_x a_y^\dagger - a_y a_x^\dagger )$$

$$H_{xy}=(a_x^\dagger a_x  + a_y^\dagger a_y +1) \hbar w $$

Con $[H_{xy},L_z]=0$

 

Editado por Tatiana Ortega Quintero.

Problema Por Cristian Serna, solución por juan felipe zapata

 Por simplicidad se hace $\hbar=1$

Un electrón está en un estado de momento angular con $l=3$.

a) ¿Cuál es la longitud del vector de momento angular del electrón?

La longitud del operador vectorial $\vec{\hat{L}}$ es $=\sqrt{\vec{\hat{L}} \cdot \vec{\hat{L}} }= \left|\vec{\hat{L}}\right|=\sqrt{l(l+1)}=\sqrt{12}$

b) ¿Cuántas componentes $z$ diferentes puede tener el vector de momento angular?

Se sabe que $  -3\leq m \leq 3$, por lo tanto el operador vectorial momento angular $\vec{\hat{L}}$ puede tener $2l+1=7$ componentes $z$ diferentes 

c) ¿Cuál es el valor del ángulo que hace el vector $\vec{L}$ con el eje $z$?

Dados dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ el ángulo que forman está determinado por la siguiente ecuación:

$$\theta=\cos^{-1}\left(  \frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{u v}\right)$$

Realicemos el siguiente reemplazo:

$$\vec{u}=\vec{\hat{L}}=\begin{bmatrix} \hat{L}_x\\\hat{L}_y \\ \hat{L}_z\end{bmatrix}$$

$$\vec{v}=\vec{\hat{L}_z}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \\ \hat{L}_z\end{bmatrix}$$

De lo anterior se tiene que:

$$\theta=\cos^{-1}\left(  \frac{m^2}{\sqrt{l(l+1)}m}\right)=\cos^{-1}\left(  \frac{m}{\sqrt{l(l+1)}}\right)=\cos^{-1}\left(  \frac{m}{\sqrt{12}}\right)$$

Hallemos el ángulo para cada uno de los $7$ valores que puede tomar $m$:

$$\left\{ \begin{matrix}  m=3 \Rightarrow  \theta=30°\\m=2 \Rightarrow  \theta=54.7° \\m=1 \Rightarrow  \theta=73.2° \\m=0 \Rightarrow  \theta=90° \\m=-1 \Rightarrow  \theta=106.8 °\\ m=-2 \Rightarrow  \theta=125.2 °\\m=-3 \Rightarrow  \theta=150 ° \end{matrix}\right.$$