Clase 28: Autovalores del momento angular

 Clase 28 - 21 septiembre

Autovalores del momento angular

Para un ket $|\psi \rangle$ los elementos de matriz $\langle\psi|\hat{J}^2|\psi\rangle$ son positivos o cero.

$$\langle\psi|\hat{J}^2|\psi\rangle=\langle\psi|\hat{J_x}^2|\psi\rangle+\langle\psi|\hat{J_y}^2|\psi\rangle+\langle\psi|\hat{J_z}^2|\psi\rangle=||\hat{J_x}|\psi\rangle||^2+||\hat{J_y}|\psi\rangle||^2+||\hat{J_z}|\psi\rangle||^2 \geq 0$$ 

Entonces los autovalores de $\hat{J}^2$ son mayores o iguales a cero.

Vamos a suponer que $\hat{J}^2|\psi\rangle$ tiene una ecuación de autovalores para este estado.

$$\hat{J}^2|\psi\rangle=autovalor|\psi\rangle$$

Supongamos que  $autovalor=\hbar j (j+1)$, entonces:

$$\hat{J}^2|\psi\rangle=\hbar^2 j (j+1)|\psi\rangle$$

Luego los autovalores de  $\hat{J}^2$ son $\hbar^2 j (j+1)$ y por convención $j\geq 0$ 

Para $\hat{J_z}$ se plantea de igual forma, donde la ecuación de autovalores es:

$$\hat{J_z}|\psi\rangle=\hbar m|\psi\rangle$$

Con $m\in\mathbb{R}$

Notación

$$|\psi\rangle=|k,j,m\rangle$$

Donde el valor $k$ todavia no sabemos nada de él, y las ecuaciones de autovalores nos quedan entonces de la forma:

$$\hat{J}^2|k,j,m\rangle=\hbar^2 j (j+1)|k,j,m\rangle$$

$$\hat{J_z}|k,j,m\rangle=\hbar m|k,j,m\rangle$$

Con $j\geq 0$ y $m\in\mathbb{R}$

Vamos a mostrar que se cumple la siguiente desigualdad $-j\leq m\leq j$

Recordando que $(\hat{J_+})^{\dagger}=\hat{J_-}$ partimos de las siguientes relaciones:

$$||\hat{J_+}|k,j,m\rangle||^2=\langle k,j,m|\hat{J_-}\hat{J_+}|k,j,m\rangle \geq 0$$

$$||\hat{J_-}|k,j,m\rangle||^2=\langle k,j,m|\hat{J_+}\hat{J_-}|k,j,m\rangle \geq 0$$

$$\langle k,j,m|\hat{J}^2-\hat{J_z}^2-\hbar \hat{J_z} |k,j,m\rangle = j(j+1)\hbar^2-m^2\hbar^2-m\hbar^2 \geq 0$$

$$\langle k,j,m|\hat{J}^2-\hat{J_z}^2+\hbar \hat{J_z} |k,j,m\rangle = j(j+1)\hbar^2-m^2\hbar^2+m\hbar^2 \geq 0$$

Operando las ultimas inecuaciones llegamos a:

$$-(j+1)\leq m \leq j$$

$$-j\leq m \leq j+1$$

Como se cumplen simultáneamente se cumple que $-j\leq m\leq j$

Propiedades de los vectores $\hat{J_-}|k,j,m\rangle$ y $\hat{J_+}|k,j,m\rangle$

1) Si $m=-j$:

$$\hat{J_-} |k,j,-j\rangle=0$$

2) Si $m>-j$:

$$\hat{J_-} |k,j,m\rangle$$

Es un vector no nulo y es autovector de $\hat{J}^2$ y de $\hat{J_z}$ con autovalor $j(j+1)\hbar^2$ y $(m-1)\hbar$ respectivamente.

Esto se puede demostrar si partimos de la relación:

$$[\hat{J}^2,\hat{J_-}]|k,j,m\rangle=0$$

Si expandimos llegamos a 

$$\hat{J}^2(\hat{J_-}|k,j,m\rangle)-j(j+1)\hbar^2\hat{J_-}|k,j,m\rangle=0$$

Que corresponde a una ecuación de autovalores, se hace el mismo análisis para $\hat{J_z}$ partiendo de:

$$[\hat{J_z},\hat{J_-}]|k,j,m\rangle=-\hbar\hat{J_-}|k,j,m\rangle$$

 

Ahora:

1) Si $m=j$

$$\hat{J_+} |k,j,j\rangle=0$$

2) Si $m<j$:

$$\hat{J_+} |k,j,m\rangle$$

Es un vector no nulo y es autovector de $\hat{J}^2$ y de $\hat{J_z}$ con autovalor $j(j+1)\hbar^2$ y $(m+1)\hbar$ respectivamente.

Esto lo podemos comprobar si expandimos las siguientes relaciones y llegar a una ecuaciones de autovalores con el vector dado $\hat{J_+} |k,j,m\rangle$:

$$[\hat{J}^2,\hat{J_+}]|k,j,m\rangle=0$$

$$[\hat{J_z},\hat{J_+}]|k,j,m\rangle=\hbar\hat{J_+}|k,j,m\rangle$$

• En resumen, $\hat{J_-}$ mantiene a $j$ igual pero cambia a $m$ por $m-1$
• Y  $\hat{J_+}$ mantiene a $j$ igual pero cambia a $m$ por $m+1$

Si seguimos esta formula de iteración, y al estado $|k,j,m\rangle$ le aplicamos $\hat{J_-}$, esto lo podemos hacer $p$ veces hasta que $m=-j$ y similarmente si aplicamos  $\hat{J_+}$, esto lo podemos hacer $q$ veces hasta que $m=j$

$$m-p=-j$$

$$m+q=j$$

Con $p,q\in\mathbb{Z}^+$

$p+q=2j$ donde si $p+q\in\mathbb{Z}^+$ entonces $2j\in\mathbb{Z}^+$

Finalmente $j\in(0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,...)$

Referencias

• Cohen-Tannoudji C., Diu B., Laloe F. (1973) Vol. 1: Quantum Mechanics.