Clase 22: Preparación de un estado y Solución de la ecuación de Schrödinger

La preparación de un estado.

Sea |$\psi\rangle$ un sistema encontrado en el laboratorio (un has de luz, una corriente de electrones). Queremos conocer la situación inicial de un experimento o un sistema, para esto supongamos que tenemos una situación inicial que no conocemos muy bien, queremos tratar de establecer un protocolo para tomar ese estado que está en alguna situación y de ahí ver como podemos estudiarlo mejor.  Una situación típica que necesitamos es utilizar el cuarto postulado: en un instante después de una medida en la que se obtuvo $a_{n}$, el sistema está en un estado $|u_{n}\rangle$  asociado con $a_{n}$.

En un tiempo $t_{0}$ se toma la medida de una cantidad física, esa cantidad física esta asociada con un  observable $A$, cuyos autovalores son $a_{n}$ y sus autoestados son $|u_{n}\rangle$.  Entonces en $t_{0}$ se obtuvo un $a_{i}$, por lo cual, inmediatamente después de la medida $t_{0} + \Delta t$, el sistema está en el estado $|u_{n}\rangle$. Entonces, se puede utiliza este estado para otras medidas u otras observaciones, es decir, se puede tomar $|\psi\rangle$ y proyectarlo para obtener un $|u_{n}\rangle$ que es nuestro nuevo estado inicial.  Lo que se quiere es crear una especia de filtro  con alguna técnica experimental, para prevenir que el sistema se recupere (retome su forma inicial) y, conserve esta nueva forma.

Pero $|\psi\rangle$ era una combinación de los autoestados $|\psi\rangle$ = $\sum C_{a} |u_{n}$. Lo que queremos es hacer una proyección sobre el estado i-ésimo sobre $\psi$ que sea básicamente un $|u_{n}\rangle$, no necesariamente normalizado, esto es:

|$\psi \rangle = \sum_{n} C_{a} | u_{n}\rangle \rightarrow  R_{i} |\psi \rangle = \lambda _{n} | u_{n} \rangle$

Podemos definir  $|\psi' \rangle =  R_{i} | \psi \rangle$, el cual tenemos que normalizar. 

Solución de la ecuación de Schrödinger

Nuestro observable principal o más popular es el Hamiltoniano ya que con él construimos la ecuación de Schrödinger.

Supongamos un Hamiltonianos con autoestados $|\varphi _{n,\vec{m}}\rangle$

$H |\varphi _{n,\vec{m}} \rangle = E_{n} | \varphi _{n,\vec{m}}\rangle$

Donde $\vec{m}$ es una colección de números cuánticos   $\vec{m} = (m_{1}, m_{2} …)$ que permiten tener un sistema que no es degenerado, hacen que $|\varphi_{n,\vec{m}}\rangle$ sea único.

Supongamos que H no depende del tiempo t, por lo tanto es un sistema conservativo, $| \varphi_{n,\vec{m}}\rangle$ no depende de t, es decir, esos autoestados no van a cambiar con el tiempo. Vemos que $\psi$ puede evolucionar pero, los $|\varphi_{n,\vec{m}}\rangle$ no.

Dado que $|\phi_{n,\vec{m}}\rangle$ es una base, siempre es posible para cada valor de t expandir cualquier estado $|\psi (t)\rangle$ del sistema en términos de $|\varphi_{n,\vec{m}}\rangle$

$|\psi(t)\rangle = \sum_{n,\vec{m}} C_{n,\vec{m}}(t) | \varphi_{n,\vec{m}}\rangle$

Donde $C_{n,\vec{m}}(t) = \langle\varphi | \psi(t)\rangle$. Dado que $| \varphi(t)\rangle$ no depende de t, toda la dependencia temporal de $| \psi(t)\rangle$ está contenida en $C_{n,\vec{m}}(t)$. Para calcular  $C_{n,\vec{m}}(t)$, proyectamos la ecuación de Schrödinger en cada uno de los estados  $| \varphi(t)\rangle$. Esto produce:

$ih \frac{d}{dt} \langle \varphi_{n,\vec{m}} | \psi(t) \rangle = \langle \varphi_{n,\vec{m}}|H|\psi(t) \rangle$

$ih \frac{d}{dt} C_{n,\vec{m}}(t) =  E_{n}  C_{n,\vec{m}}(t)$

Esta ecuación la podemos integral directamente para obtener:

$C_{n,\vec{m}}(t) = C_{n,\vec{m}}(t_{0}) e^{-iE_{n}(t-t_{0})/\hbar}$

Cuando H no depende explícitamente del tiempo, para encontrar $\psi(t)$, dado $|\psi(t_{0}) \rangle$ podemos hacer:

1. Expandir $|\psi(t_{0})\rangle$ en términos de una base de autoestados de H:

   $|\psi(t_{0})\rangle = \sum_{\vec{m}} \sum_{n} C_{n,\vec{m}}(t_{0})|\varphi_{n,\vec{m}}\rangle$

$C_{n,\vec{m}}(t_{0})$ viene dado por la fórmula $C_{n,\vec{m}}(t_{0}) = \langle \varphi_{n,\vec{m}}|\psi(t_{0})\rangle$

2. Ahora, para obtener $|\psi(t) \rangle$ para t arbitrario, multiplicamos cada coeficiente            $C_{n,\vec{m}}(t_{0})$ de la expresión que teníamos de $|\psi(t_{0})\rangle$ por $e^{-E_{n}(t-t_{0})/\hbar}$, donde $E_{n}$ es el valor propio de H asociado con el estado $|\varphi_{n,\vec{m}}\rangle$:

    $|\psi(t)\rangle = \sum_{\vec{m}} \sum_{n} C_{n,\vec{m}}(t_{0}) e^{-iE_{n}(t-t_{0})/\hbar}|\varphi_{n,\vec{m}}\rangle$

Un caso especialmente importante es aquel en el que $|\psi(t_{0})\rangle$ es en sí mismo un autoestado de H. Por tanto:

$|\psi(t_{0})\rangle = \sum_{\vec{m}}  C_{n,\vec{m}}(t_{0})|\varphi_{n,\vec{m}}\rangle$

Ahora, si solo tenemos en cuenta la sumatoria sobre $\vec{m}$  tendremos la combinación lineal:

$|\psi(t)\rangle = \sum_{\vec{m}} C_{n,\vec{m}}(t_{0})e^{-iE_{n}(t-t_{0})/\hbar}|\varphi_{n,\vec{m}} \rangle  = e^{-iE_{n}(t-t_{0})/\hbar}\sum_{\vec{m}} C_{n,\vec{m}}(t_{0})|\varphi_{n,\vec{m}}\rangle $

$|\psi(t)\rangle = e^{-iE_{n}(t-t_{0})/\hbar} |\psi(t_{0})\rangle$

De esto concluimos que todas las propiedades físicas de un sistema que se encuentra en un estado propio de H no varían con el tiempo, los estados propios de H se denomina por esta razón estados estacionarios.

Superposición vs suma de probabilidades.

Ejemplo: polarización de la luz.

Consideremos los fotones que se propagan a lo largo de $O$z, cuyo estado de polarización está representado por el vector unitario:

$e = \frac{1}{\sqrt{2} } (e_{x}+e_{y})$

Este resultado es una superposición lineal de dos estados de polarización ortogonal $e_{x}$ y $e_{y}$. Esto representa la luz que está polarizada linealmente en un ángulo de 45° con respecto a $e_{x}$ y $e_{y}$. Sería absurdo suponer que $N$ fotones en el estado $e$ son equivalentes a $N$ x $\left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right|^{2} = \frac{N}{2}$ fotones en el estado $e_{x}$ y  $N$ x $\left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right|^{2}  = \frac{N}{2}$ fotones en el estado $e_{y}$.  Si colocamos en la trayectoria del haz un analizador cuyo eje $e'$ es perpendicular a $e$, sabemos que ninguno de los $N$ fotones en el estado $e$ pasará por este analizador. Pero, para la mezcla estadística [$\frac{N}{2}$ fotones en el estado $e_{x}$, $\frac{N}{2}$ fotones en el estado $e_{y}$] la mitad de los fotones pasarán a través del analizador.

Producto tensorial de estados

Existen situaciones en las que se necesitan dos espacios de estados  diferentes, $\varepsilon_{1}$ y $\varepsilon_{2}$, con ellos se puede crear un espacio de estado nuevo que sea el producto tensorial de ambos estados, esto es:

$\varepsilon = \varepsilon _{1} \otimes  \varepsilon _{2} \rightarrow  |\psi \rangle = |\varphi \rangle \otimes  |\gamma \rangle =|\varphi,\gamma \rangle$

En términos de productos internos de $\varepsilon$:

$|\varphi , \gamma\rangle \rightarrow  \langle\varphi', \gamma'|\varphi, \gamma \rangle = \langle\varphi'|\varphi\rangle \langle\gamma'|\gamma \rangle$

Una base del espacio $\varepsilon $ se puede construir de los espacios:

$\varepsilon _{1} \rightarrow  |u_{1} \rangle $ y $\varepsilon _{2} \rightarrow  |v_{2} \rangle $

Teniendo en cuenta que $\langle u_{i} |u_{j} \rangle = \delta_{ij}$ y $ \langle v_{i}|v_{j} \rangle = \delta_{ij}$, obtenemos finalmente que:

$|u_{i},v_{j} \rangle = |u_{i} \rangle \otimes  |v_{j} \rangle$

Ejercicio: para Sergio castrillón

Considere la siguiente base para un espacio de estados $$B=\left \{ \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix} ,  \begin{bmatrix} 0\\1\end{bmatrix}\right\}=\left \{ | u_1 \rangle, | u_2\rangle \right\}$$

Tal que el estado de un sistema en el tiempo $t=0$ está dado por:

$$| \psi(0) \rangle = | u_1\rangle+ | u_2\rangle $$ 

Halle $| \psi(t) \rangle$ si la representación matricial del hamiltoniano es:

$$H= \begin{bmatrix} 1&0\\0&1 \end{bmatrix}$$ 

Ayuda: use el operador propagador y recuerde que  dado un operador $\hat{A}$ con autovectores $|a\rangle$ y autovalores $a$ se tiene que cualquier función $f$ evaluada en el operador cumple la siguiente ecuación:

  $$f(\hat{A}) |a\rangle=f(a) |a\rangle$$