Continuando con la clase anterior, recordemos que veníamos analizando el 4° postulado. Este postulado tenía una forma para bases discretas y para bases continuas.
Generalmente se necesita más de una característica o propiedad para describir un sistema físico. En mecánica cuántica se da la particularidad de que cada uno de estos elementos están asociados con números u observables cuánticos. Limitarse a un observable da lugar a problemas, por ejemplo, el átomo de hidrógeno lo habíamos analizado de acuerdo con el modelo de Bohr: un átomo plano (con una sola componente de momento angular) e independiente del tiempo, pero en la realidad esto no funciona así, el átomo de Bohr falla para describir la aparición de múltiples niveles de energía al someter el átomo a un campo magnético. Estos niveles se pueden predecir mediante modelos más completos.
Analicemos la reducción del paquete de ondas. Un estado físico $|\psi⟩$ se entiende como una superposición de estados $|u_i⟩$, estos estados son los autovectores asociados a los autovalores de algún observable, de tal manera que:
$$|\psi⟩=\sum c_i |u_i⟩$$
Al medir una magnitud física se obteniene alguno de los autovalores $a_i$ del observable asociado. Al repetir la medida un instante después se espera que no haya cambiado. Por otra parte, si nosotros tenemos el sistema listo para ser medido, podemos indicar unas probabilidades para cada autovalor posible, pero no se puede saber con certeza cuál será el resultado de la medida.
Las mediciones corresponden con proyecciones (tienen un operador proyección asociado), de tal manera que para obtener un $a_i$ lo que se hace es proyectar sobre el eje i. Si $a_i$ es degenerado, entonces tiene múltiples autoestados asociado, los cuales forman un subespacio de dimensión mayor a 1. Esto corresponde con el quinto postulado.
Quinto Postulado
Si en la medida de $A$ asociado con A de un sistema $|\psi⟩$ nos da $a_i$, entonces el estado del sistema inmediatamente después de la medida está dado por $P_i|\psi⟩=c_i |u_i⟩ $ y si normalizamos $\frac{P_i|\psi⟩}{⟨\psi|P_i|\psi⟩^{3/2}}$, donde $P_i$ es el operador proyección sobre el subespacio asociado con $a_i$.
Si denotamos como $|u_i~^j⟩$ a los autovectores asociados al autovalor degenerado $a_i$, y tomamos estos vectores normalizados, entonces el vector proyección viene dado por
$$P_i=\sum_{j=1}^n |u_i~^j⟩⟨u_i~^j| $$
También se puede definir para una base continua, pero no es relevante para el curso.
Teniendo en cuenta el proceso de medición (el cual es indispensable para que todo esto esté relacionado a un sistema físico más que ser solo teoría matemática) consideramos que la medición perturba el sistema de forma leve y no irremediable. Así, momentos después de hacer la medida, el sistema vuelve a su estado inicial en el cual se pueden extraer otras medidas al volver a medir.
Sexto Postulado Evolución temporal
La evolución temporal de un vector de estado $|\psi⟩$ está determinada por la ecuación de Schrödinger$$ i\hbar\frac{d}{dt}|\psi(t)⟩=H(t)|\psi(t)⟩$$
donde $H(t)$ es el observable asociado con la energía total del sistema. $H(t)$ es usualmente el Hamiltoniano del sistema, el cual corresponda con la energía total en sistemas conservativos.
Una forma particular de llamar al quinto postulado es "La reducción del paquete de ondas" o el "Colapso instantáneo de la función de onda" ya que al realizar la medición de la cantidad física $A$ asociada al observable A, se realiza una actualización de la información del estado |ψ(t)⟩ debido a que cuando aprendemos algo como consecuencia de la observación del sistema hay que descartar las partes de |ψ(t)⟩ que son inconsistentes con la nueva información de él mismo.
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