Ejercicio clase 15

 Ejercicios para Sergio Castrillón por Juan Felipe Zapata 

Sea  $$A=\begin{bmatrix}1 &1+i \\ 1-i& 0\end{bmatrix}$$ La matriz de representación de un operador en un espacio dado. Encuentre los valores propios de $A$, halle la base para los espacios propios asociados a los valores propios y muestre que los vectores de las dos bases son ortogonales. 

Para hallar los autovalores, debemos encontrar las raíces del polinomio característico:

$p(\lambda)=det(A-\lambda*I)=0$

Luego de resolver esta ecuación obtenemos que $\lambda^{2}-\lambda-2$=0:

De donde encontramos que los autovalores son $\lambda$=2 ; $\lambda$ =-1 

Para determinar los auto vectores asociados a cada uno de los autovalores debemos evaluar en $(A-\lambda*I)(V)=0$ donde $V =(v_{1},v_{2})^{T}$ es el auto vector buscado.

Para $\lambda_{1}=2$

$(A-\lambda_{1}*I)(V)=0$

Donde $v_{1}=1+i ; v_{2}=1 \to V=(1+i,1)^{T}$

Para $\lambda_{2}=-1$

(A-$\lambda_{2}*I)(W)=0$

Donde $w_{1}=1+i ; w_{2}=1 \to W=(-(i+1)/2,1)^{T}$

Podemos concluir a este punto que como la multiplicidad algebraica y la dimensión del subespacio que generaron cada vector son la misma, este operador en su representación matricial es diagonalisable, por tanto ambos vectores son li y por tanto ortogonales, sin embargo mostrémoslo explícitamente.

Para saber si son ortogonales basta probar que son li.

Luego : $\sum _{i}\gamma_{i}D_{i}$ donde$ D_{i} $son los vectores V y W hallados, se sigue entonces que

$\alpha*v_{1}+\beta*v_{2}=0$

$\alpha*w_{1}+\beta*v_{2}=0$

De donde al hacer el remplazo de las componentes de V y W se tiene que $\alpha=-\beta; \alpha=0=\beta$

Por tanto concluimos que ambos vectores son l y por tanto ortogonales