Problema Clase 10. Barreras de Potencial

Considere un pozo cuadrado de potencial que tiene un muro infinito en x=0 y un muro de altura U en x=L tal y como se muestra en la figura. Para el caso en el que la energía  de la partícula es menor que U (E<U), obtenga las soluciones de la ecuación de Schrödinger dentro del pozo y en la región de la derecha que satisfacen las condiciones de frontera.

 

Solución: Juan Felipe Zapata 

La ecuación de schrodinger independiente del tiempo se puede escribir de forma general como: $$\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^{2}}=\frac{2m}{\hbar^{2}}\left(U-E\right)\psi(x)$$


\textbf{Región I}

En esta parte tenemos que $U=0$ por lo tanto la ecuación de schrodinger queda: $$\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^{2}}=-\frac{2mE}{\hbar^{2}}\psi(x)=-k^{2}\psi(x)$$

Su solución es:


$$\psi(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}=C\sin(kx)+D\cos(kx)$$

Aplicando las condición de finitud para la función de onda $\psi(x=0)=0$ obtenemos que la solución es:



\begin{equation}
 \psi(x)=C \sin(kx)
\end{equation}

\textbf{Región II}



Para esta región la ecuación de schrodinger la escribimos como:

$$\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^{2}}=\frac{2m}{\hbar^{2}}\left(U-E\right)\psi(x)=\alpha^{2}\psi(x)$$


Su solución es:

     $$\psi(x)=Fe^{-\alpha x}+De^{\alpha x}$$

Aplicando la condición de finitud de la función en onda $\psi(x=\infty)=0$ tenemos:

 $$\boxed{\psi(x)=Fe^{-\alpha x}}$$


Condiciones de frontera:

Al pedir continidad de $\psi(x)$ y de $\frac{d \psi(x)}{dx}$  en $x=L$ podemos hallar las contantes.



$$C \sin(kL)= F e^{-\alpha L}$$

$$Ck \cos (kL)=- \alpha F e^{-\alpha L}$$