Clase 10: Algunos problemas de barreras

 1. Barrera de potencial I

Consideremos la siguiente barrera de potencial con $V=0$ para $x<0$ y $V=V_0=cte$ para $x\geq 0$:

Figura 1: Barrera de potencial unidimensional

Estudiemos la situación en la que la energía total $E$ es mayor al potencial $V_0$. En este caso podemos escribir las ecuaciones de Schrodinger en la región I ($x<0$) y en la región II ($x\geq 0$) como:

$$\psi_I=Ae^{ik_1x}+Be^{-ik_1x}\ \ \ ,\ con\ k_1^2=\frac{2mE}{\hbar^2}$$

$$\psi_{II}=A'e^{ik_2x}+B'e^{-ik_2x}\ \ \ ,\ con\ k_2^2=\frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}$$

En la región II no hay ondas que se desplacen a la izquierda, sólo a la derecha, por lo tanto $B'=0$. Además, como $\int_{-\infty}^{\infty}|\psi|^2dx$ no puede calcularse porque estamos trabajando con ondas planas que ocupan todo el espacio, entonces no se puede saber el valor de una de las constantes. Es bueno entonces trabajar con la razón de las constantes respecto a la que acompaña a la onda incidente A.

Las condiciones de frontera serán:

$$\psi_I(x=0)=\psi_{II}(x=0)$$

$$\psi_{I}'(x=0)=\psi_{II}'(x=0)$$

Con las que se consigue que:

$$\frac{B}{A}=\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}$$

$$\frac{A'}{A}=\frac{2k_1}{k_1+k_2}$$

Como B representa el coeficiente de la onda reflejada y A' de la onda transmitida, entonces los coeficientes de reflexión y transmisión serán entonces:

$$R=\left(\frac{B}{A}\right)^2$$

$$T=\left(\frac{A'}{A}\right)^2$$

Ahora estudiemos el caso en que $E<V_0$. Siguiendo el mismo procedimiento anterior nos damos cuenta que ahora $k_2^2<0$ y por tanto la solución a $\psi_{II}$ será una exponencial real negativa si hacemos B'=0 para que la solución converja. Esto no tiene problemas ya que las condiciones de frontera se siguen cumpliendo y por tanto podemos encontrar nuevamente las razones de las constantes. Tendremos entonces que:

$$\psi_I=Ae^{ik_1x}+Be^{-ik_1x}\ \ \ ,\ con\ k_1^2=\frac{2mE}{\hbar^2}$$

$$\psi_{II}=A'e^{-k_2x}\ \ \ ,\ con\ k_2^2=\frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}<0$$

$$\frac{B}{A}=\frac{k_1-ik_2}{k_1+ik_2}$$

$$\frac{A'}{A}=\frac{2k_1}{k_1+ik_2}$$

2. Barrera de potencial II

Figura 2: Barrera de potencial unidimensional

Con esta barrera tendremos 3 regiones a estudiar: I ($x<0$), II ($0\leq x\leq l$) y III ($x>l$). Cuando $E>V_0$ en la primera región la solución será una combinación lineal de la onda que va a la izquierda y la que va a la derecha como vimos en el ejemplo anterior. En la segunda podemos escribir una solución similar y en la tercera tendremos sólo ondas hacia la derecha.

Más interesante es estudiar el caso donde $E<V_0$. En este, la primera región conservará la solución ya dada, la segunda tendrá una exponencial negativa como lo vimos en el primer ejemplo, pero la tercera tendrá una solución como $A''e^{ik1''x}$. Clásicamente las partículas no podrían pasar a la región III pero nos damos cuenta que cuánticamente la probabilidad de encontrarlas en esa región será distinta de 0 lo cual es un resultado interesante.

3. Pozo finito de potencial

Haciendo nuevamente un procedimiento similar tendremos que para que no diverja alguna de las soluciones se debe cumplir que:

$$\psi_I=Be^{kx}$$

$$\psi_{II}=Ccos(k'x)\ \ \,\ usando\ la\ solución\ par$$

$$\psi_{III}=Ae^{-kx}$$

Estas ecuaciones conllevan a un problema porque se consiguen ecuaciones trascendentales. Tendremos además:

$$\frac{k}{k'}=tan\frac{k'L}{2}\ \ \,\  usando\ la\ solución\ par$$

$$\frac{k}{k'}=cotan\frac{k'L}{2}\ \ \,\  usando\ la\ solución\ impar$$

La continuación de este problema se dejó para la siguiente clase.

Referencias

Krane, K. (2019). Modern Physics, 4th Edition. New York: Wiley.

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APLICACIÓN POZO CUÁNTICO: DIODO LÁSER.

Los pozos cuánticos se forman en semiconductores que poseen materiales como el GaAs, emparedado entre dos capas de materiales, constituyendo así band gap. Estas estructuras pueden ser cultivadas mediante procedimientos de crecimiento epitaxial.

A causa de la naturaleza cuasi bidimensional, los electrones en los pozos cuánticos poseen una densidad de estados más pronunciada que en el cuerpo de un material. Como consecuencia, los pozos cuánticos se usan de manera abundante en la fabricación de diodos láser. También se los utiliza para fabricar transistores de alta movilidad de electrones, que se usan en electrónica de bajo ruido. Los fotodetectores infrarrojos de pozos cuánticos también se basan en pozos cuánticos y se los utiliza para operar imágenes infrarrojas.

Un diodo láser, también conocido por sus siglas como ILD, es un dispositivo semiconductor porque utiliza la unión p-n para emitir una luz tal como lo hacen los LED, pero en el caso de los diodos laser estos producen una luz mucho más intensa y pura, y todo esto debido a que posee una cámara resonante de espejos que produce un reforzamiento en la emisión de las ondas luminosas a una misma frecuencia y fase, todo este proceso es conocido como ‘‘Amplificación de luz por emisión estimulada de radiación’’ lo que por sus siglas en inglés se abrevia como LASER, procediendo de ahí su nombre de diodo (por la unión p-n) laser.

Video de funcionamiento de un diodo láser: 

https://www.youtube.com/watch?v=3CKvdHkAFOU

Waira M