Clase 9: Soluciones para energías de potenciales constantes

Probabilidades y Normalización 

Dada la ecuación de Schrödinger:

$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi}{dx^2}+u(x)\psi(x)=E\psi(x)$

Donde $u(x)$ es el potencial que está asociado a algún tipo de fuerza, $E$ es la energía total de la partícula . $|\psi|^2$ está asociado a una densidad de probabilidad de encontrar la partícula entre $x$ y $x+dx$. 

Podemos definir, entonces, la densidad de probabilidad $P(x)$ (probabilidad por unidad de longitud, en una dimensión) como:

$P(x)dx=|\psi(x)|^2 dx $  

Esta interpretación de $\psi(x)$ nos permite ilustrar lo siguiente: 

1) Para una función de onda que describe una sola partícula, la probabilidad sumada en todas las ubicaciones debe ser del 100%, es decir, la partícula debe estar ubicada en algún lugar entre $x = -\infty$ y $x = +\infty$.  En otras palabras, la partícula está en el universo. Esto es: 

$\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^2dx = 1$

La anterior integral provee, además, la condición de normalización de la función de onda $|\psi|$.

La probabilidad de que la partícula se encuentre entre los puntos $a$ y $b$ estará dada, entonces, por: 

$P(a<x<b) = \int_{a}^{b}|\psi(x)|^2dx $

Con lo cual vemos que no es posible encontrar la partícula en un solo punto es decir, $P(x=x_0)=0 $

2) $\psi(x)$ es continua en el intervalo $(-\infty, \infty)$

3) $\psi \prime (x)$ es continua a menos que $u(x)$ tienda a infinito.

Además,  $|\psi| \in L^2$, donde $L^2$ es el espacio de funciones de cuadrado integrable continuas y con primera derivada que esperamos que sea continua. 

Soluciones para energías de potenciales constantes  

Partícula libre

Para una partícula libre la fuerza es cero, por lo cual el potencial será  $u(x)=0$, con lo que se tiene que la ecuación de Schrödinger toma la forma:  

$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi}{dx^2}=E\psi(x)$

Donde $E\neq 0$, por tanto: 

$\frac{d^2\psi}{dx^2}=-\frac{2mE}{\hbar^2}\psi=-k^2\psi$

La solución es de tipo armónico con $k^2=\frac{2mE}{\hbar^2}$ y está dada de la siguiente manera: 

$\psi(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$ 

La anterior ecuación describe una onda plana. Vemos que solo es la parte espacial de la onda. Agregando el término temporal a la ecuación se tiene que: 

$\psi(x,t)=\psi (x) e^{-i\omega t}$

$\psi(x,t) = Ae^{ikx-i\omega t}+Be^{-ikx-i\omega t}$

Dadas las relaciones de signo se tiene, entonces, la descripción de una onda plana que se mueve a derecha (función que acompaña a A) o a izquierda (función que acompaña a B).

Se tiene $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ es el número de onda y $\omega=2\pi\nu$ es la frecuencia angular. Con esto podemos escribir la velocidad como: 

$\lambda \nu = v$

$\frac{\omega}{k}=\frac{2\pi}{k}\frac{\omega}{2\pi}=v$

$v$ es la velocidad de una onda monocromática de frecuencia $\nu$ y longitud de onda $\lambda$. 

Note que esta ecuación solo describe partículas materiales, por lo cuál no puede usarse para describir el movimiento de un fotón.  

Ejemplo: Pozo de potencial infinito 

Considere una partícula atrapada en la región entre $x = 0 $ y $x = a$ por barreras de potencial infinitamente altas (como se muestra en la Figura 1) en el que la partícula se mueve libremente en esta región intermedia.

En las regiones entre $x=0$ y $x=a$  se tiene que $u(0<x<a)=0$. Además: 

$\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}=-k^2\psi(x)$

$k^2=\frac{2mE}{\hbar^2}$

Figura 1. Pozo con paredes de potencial infinitos en los puntos x=0 y x=a

Cuya solución es:

$\psi(x) = Asin(kx) + Bcos(kx)$

Se debe cumplir que $\psi(x)$ es continua en x=0 y x=a por tanto, si consideramos:

$\psi(x=0)=0$ lo que implica que B=0 dada la condición de continuidad.

$\psi(x)=Asin(kx)$ , esto cumple que $\psi(x)$ es continua en $x=0$.

Luego, para $x=a$ se tiene que: 

$\psi(x=a)=0=Asin(ka)$

Con lo cual se tiene que $ka=n\pi$ y con ello $k=n\pi /a$.

$k=\frac{2\pi}{\lambda}$

$\lambda = \frac{2a}{n}$

$\psi(x)=Asin(knx)$

Para encontrar $A$ podemos usar la condición de normalización encontrada anteriormente, sabiendo que la partícula está confinada entre $x=0$ y $x=a$, con lo cual se tiene lo siguiente: 

$\int_{a}^{b} |\psi(x)|^2dx=1$

$\int_{0}^{a} A^2 sin^2(knx)dx=1$

De lo que se obtiene que $A_n=\pm \sqrt{\frac{2}{a} }$ es la normalización de $\psi(x)$. 

Para la energía se tiene lo siguiente: 

$\frac{2mE}{\hbar^2}=k^2=(\frac{n\pi}{a})^2$

$E_n=(\frac{n\pi}{a})^2\frac{\hbar^2}{2m}$

Vemos que la energía está cuantizada y que, por tanto, la partícula sólo puede estar en determinados niveles de energía. En la Figura 2 se muestran los primeros 4 niveles de energía que puede ocupar la partícula.

Figura 2. Primeros cuatro niveles de energía ocupados por la partícula. 

Con todo lo anterior se obtiene que, finalmente, $\psi(x)$ está dado, para $n>0$, por:

$\psi(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}sin(knx)$ 

En la Figura 3, las funciones de onda y las densidades de probabilidad $|\psi|^2$ se ilustran para varios estados. En el estado fundamental, la partícula tiene la mayor probabilidad de encontrarse cerca del medio del pozo ($x = a/2$), y la probabilidad cae a cero en los extremos. Esto es muy diferente del comportamiento de una partícula clásica: una partícula clásica que se mueve a velocidad constante se encontraría con la misma probabilidad en todos los lugares dentro del pozo. La partícula cuántica también tiene velocidad constante, pero aún se encuentra con diferentes probabilidades en varios lugares del pozo. Es la naturaleza ondulatoria de la partícula cuántica la responsable de este comportamiento no clásico. 

                  Figura 3. funciones de onda (líneas continuas) y las densidades de probabilidad (regiones sombreadas) de los primeros cuatro estados en el pozo de energía potencial infinito unidimensional. 

Referencias

Krane, Kenneth S. Modern physics. (2012). Oregon State University.  John Wiley & Sons INC.

Aplicación de la Ecuación de Schrödinger y Potenciales de Confinamiento

En los últimos años la nanotecnología ha alcanzado un gran desarrollo para poder traer solución a problemas cotidianos, incluso sigue avanzando para desarrollar nuevos dispositivos que permitan perfeccionar los actuales. Un tema que involucra esta área es la termodinámica cuántica, la cual consiste en el entendimiento de la termodinámica en sistemas a nanoescala y que permite desarrollar nuevo tipo de artefactos en esta escala.

Cuando se confinan partículas en potenciales distintos en determinados dominios del orden de la longitud de onda de De Broglie, aparecen efectos de tamaño cuántico. En la nanoescala, al cambiar el tamaño del dominio de confinamiento mediante parámetros de control como por ejemplo el área (A), la longitud (P) , volúmen (V) y el número de vértices (Nv),  se alteran las propiedades termodinámicas de las partículas que están confinadas, como lo son  la energía de Helmholtz, la entropía y la energía interna. 

En su estudio Alhun y Altug (2019), solucionan numéricamente la ecuación de Schrödinger para un conjunto de partículas en un dominio de confinamiento que consiste de dos nanocables rígidos cuadrados coaxiales con diferentes longitudes de borde colocadas una dentro de la otra. El cable externo es fijo pero el interno es libre de rotar. Las partículas están confinadas en la región azúl de la Fig.1, en la cual las variables geométricas (V,A,P,Nv) permanecen invariantes debido a la rotación del cuadrado interno. Así, el dominio de confinamiento cambia sin alterar su tamaño pero sí su forma. (La región azúl es en realidad un corte transversal del cable; es decir, el dominio de confinamiento es 3-D)

Fig.1 Transformación de forma del dominio de confinamiento.

Dado que el número de partículas confinadas es considerable, se puede usar la estadísticas de Maxwell–Boltzmann para poder estudiar el sistema.

De esta manera, en su artículo “Quantum shape effects and novel thermodynamic behaviors at nanoscale” los autores muestran el cambio de las funciones termodinámicas en función del ángulo de rotación, el cual determina en cambio en la forma del dominio de confinamientos. Esto se observa en la Fig.2 donde se ha trabajado con un confinamiento cuadrado, triangular y rectangular respectivamente y $ \widetilde{F} $, $ \widetilde{S} $ , $ \widetilde{U} $ representan la energía libre de Helmholtz, la entropía y la energía interna respectivamente.

Fig.2 Funciones de estado termodinámicas en función del ángulo de rotación.

Es interesante recordar que la energía libre de Helmholtz mide el trabajo útil que se puede obtener de un sistema termodinámico cerrado a un volúmen y presión constante, la energía interna da una medida de la energía cinética que pueden tener las partículas del sistema y la entropía describe la relación del calor intercambiado entre un sistema y su medio en relación con su temperatura. A partir del estudio del cambio en estas cantidades, se da lugar a fenómenos térmicos de forma que pueden ser manipulados para ser usados en semiconductores, superconductores, gases ultrafríos, tecnologías de almacenamiento de energía y motores térmicos.

Referencias

Alhun Aydin, Altug Sisman (2019). Quantum shape effects and novel thermodynamic behaviors at nanoscale. Physics Letters A.

Editado por Valentina Pérez Cadavid.