Clase 4. Radiación de cuerpo negro y la catástrofe ultravioleta.

 Continuando con el problema de la radiación de cuerpo negro y sabiendo que la energía total se puede expresar como $E=NkT$, se considera ahora la función $U(\nu , T)$ (Por familiaridad se usa $\nu$ para referirse a la frecuencia) que no es más que la densidad de energía en la cavidad por unidad de volumen por unidad de frecuencia, con lo que $U(\nu , T) d \nu$ será la densidad de energía por unidad de volumen debida a ondas electromagneticas entre $\nu$ y $\nu + d\nu$.

Sea $\overline{E}$ la cantidad de energía con que contribuye cada modo de oscilación. Con ello podemos decir que, 

$$U(\nu,T)d\nu = \frac{\overline{E}N(\nu,T)d\nu}{V}  \:\:\:\:\ (1)$$

Consideremos la cavidad como un cubo de lado $a$ como el que se puede apreciar en la Figura 1.

Figura 1.

Luego de representar la cavidad como un cubo se puede considerar la relación geométrica $n=\frac{2a}{\lambda}$  y así,

$$\Delta n = \Delta \nu \frac{2a}{c}$$ $$\Delta \nu \frac{a}{c} = \frac{\Delta n}{\Delta \nu}\Delta \nu \rightarrow \frac{\Delta n}{\Delta \nu}$$

Recordemos que se puede expresar el campo $\vec{E}$ como una una onda plana de la forma $\vec{E}=\vec{E_0} sin(\vec{k} . \vec{r} - \omega t)$ con las direcciones $\hat{i}$, $\hat{j}$, $\hat{k}$ independientes y para hablar de ondas estacionarias, $\vec{E}$ se anula en las paredes con una condición de frontera igual en cada una de las direcciones. Trabajando en cada uno de los ejes podemos descomponer la longitud de onda de la forma $\lambda^{2} = \lambda_{x}^{2} + \lambda_{y}^{2} + \lambda_{z}^{2}$. Luego, 

$$\nu = \frac{c}{\lambda} = \frac{c}{\sqrt{ \lambda_{x}^{2} + \lambda_{y}^{2} + \lambda_{z}^{2}}} \rightarrow  \lambda_{x} = \frac{2a}{n_{x}}, \lambda_{y} = \frac{2a}{n_{y}}, \lambda_{z} = \frac{2a}{n_{z}}.$$

$$\rightarrow \nu = \frac{c}{2a} \sqrt{n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2}}.$$

Supongamos ahora un r tal que $r =  \sqrt{n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2}}$, r como una distancia al origen de un sistema coordenado con ejes $n_{x}, n_{y}$ y $n_{z}$, esto con el objetivo de contabilizar los modos de oscilación por unidad de frecuencia, en este caso para $\frac{1}{8}$ de la esfera como se muestra en la Figura 2.

Figura 2.

Utilizando el dr que se observa en la Figura 2 y recordando los resultados de la Clase 3 podemos expresar $N(r)dr = \frac{1}{8} 4 \pi r^{2} dr = \frac{\pi}{2} \left(\frac{2a}{c}\right)^{3}$ ó en términos de la longitud de onda, 

$$\frac{N(\lambda) d \lambda}{V} = \frac{8 \pi}{\lambda^{4}} d\lambda$$

Y reemplazando en (1),

$$U(\nu , T) d \nu = \frac{8 \pi}{\lambda^{4}}kT d \lambda  \:\:\:\: (2)$$ 

Este es el resultado encontrado por Rayleigh y también por Jeans, el cual entra en conflicto con los datos experimentales tal como se mostró en la Figura 3 de la Clase 3, lo cual fue denominado La Catástrofe Ultravioleta ya que esta densidad de energía diverge en el origen para el resultado teórico. 

 Ahora trabajemos en la energía media $\overline{E}$ y en su consecución. Recordemos que el valor medio de una variable x cuando se conoce su distribución de probabilidad P(x) es, 

$$\overline{x} = \int_{0}^{x_{max}} x P(x) dx$$

En nuestro caso cuando abrimos nuestro cubo queremos responder a la pregunta ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una energía entre E y E+dE? Luego,

$$P(E_0 < E < E_1) =  \int_{E_0}^{E_1}  P(E) dE \rightarrow \overline{E} =  \int_{0}^{\infty} E P(E) dE$$

La función P(E) se  conoce como la distribución de Maxwell-Boltzmann de la forma $P(E) = P_0 e^{-\frac{E}{kT}}$ con $P_0 = \frac{1}{kT}$ y  su consecución se abordara en la próxima clase. Como P no es más que los N ensayos positivos en experimento sobre el N total de ensayos en el mismo, podemos entonces calcular la energía media como, 

$$\overline{E} = \int_{0}^{\infty} E P(E) dE = \frac{P_0 \int_{0}^{\infty} E e^{-\frac{E}{kT}}  dE}{P_0 \int_{0}^{\infty}  e^{-\frac{E}{kT}}  dE} = kT$$

Y este resultado aparece en (2) estando $\overline{E}$ en cada modo de oscilación. Esta energía es también la energía de las partículas en la pared pues hablar del medio es como hablar de la pared. En la próxima clase se continuara con la solución de Planck al problema de radiación de cuerpo negro.

Por ultimo el profesor subrayó que este tipo de problemas son los que otras ciencias no abordan  para desarrollar.

Referencias bibliograficas.

Eisberg, Resnick. (1974). Teória clásica de la cavidad radiante. Física cuántica, PP. 25-27. México-México D.F: Editorial Noriega.

Editador por: Alan Stiven Camacho Restrepo