Clase 25 Finalización armónico simple

Dado el hamiltoniano de un oscilador armónico simple $H=\frac{1}{2}(\frac{P^2}{m}+m\omega^2 X^2)$,  en la sesión anterior definimos operadores adimensionales $\hat X, \hat P$ de manera que el hamiltoniano pasará a ser simétrico con respecto a ambos $H=\hbar \omega(\hat X^2+ \hat P^2)$. o $H=\hbar \omega  \hat H $ con $\hat H=\frac{1}{2} (\hat X^2+ \hat P^2)$De esta manera se pueden definir nuevos operadores $a=\frac{1}{\sqrt{2}}(X+iP)$ y $a^{\dagger}=\frac{1}{\sqrt{2}}(X-iP) $ que después denominaríamos operadores de destrucción y creación respectivamente, debido a su propiedad de subir o bajar el índice de un autoestado al aplicarlos sobre este.

$a |\psi_n \rangle=\sqrt{n}|\psi_{n-1}\rangle$

$a^{\dagger} |\psi_n \rangle =\sqrt{n+1}|\psi_{n+1}\rangle$

Con esta nueva herramienta procedemos a calcular la forma matricial de los operadores originales $X, P$ al expresarlos en términos de $a$ y $a^{\dagger}$.

$X_{mn}=\langle \psi_m | X | \psi_n \rangle=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\langle \psi_m | a^{\dagger}+a | \psi_n \rangle$
$=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(\langle \psi_m | \sqrt{n+1} | \psi_{n+1} \rangle+\langle\psi_m | \sqrt{n} | \psi_{n-1} \rangle)$

$=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(\sqrt{n+1}\delta_{m,n+1}+\sqrt{n}\delta_{m,n-1})$

$[X]=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\begin{bmatrix}0 & \sqrt{1} & 0 & ... & 0 & 0\\
\sqrt{1} & 0 & \sqrt{2} & ... & 0 & 0\\
... & ... & ... & ... & ... &...\\
0 & 0 & 0 & ... & 0 & \sqrt{n-1}\\
0 & 0 & 0 & ... & \sqrt{n-1} & 0\\
\end{bmatrix}$

De esta manera obtenemos la forma matricial que ya habíamos conseguido en sesiones pasadas pero ahora de forma casi inmediata en lugar de por medio de tediosas integrales.

De la misma manera podemos obtener la forma matricial del operador momento 

$P_{mn}=\langle \psi_m | P | \psi_n \rangle=i\sqrt{\frac{m \hbar \omega}{2}}\langle \psi_m | a^{\dagger}-a | \psi_n \rangle$
$=i\sqrt{\frac{m \hbar \omega}{2}}(\langle \psi_m | \sqrt{n+1} | \psi_{n+1} \rangle-\psi_m | \sqrt{n} | \psi_{n-1} \rangle)$
$=i\sqrt{\frac{m \hbar \omega}{2}}(\sqrt{n+1}\delta_{m,n+1}-\sqrt{n}\delta_{m,n-1})$

Fórmula de Rodrigues

Tenemos además $a^{\dagger}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}}x-\sqrt{\frac{\hbar} {m \omega}}\frac{d}{dx}\right)$.

Con  esto podemos obtener $\psi_n(x)=\langle x | \psi_n  \rangle = \frac{1}{\sqrt{n!}}\langle x| (a^{\dagger})^n | \psi_0 \rangle$

$$a^{\dagger}=\frac{1}{\sqrt{n!}}\frac{1}{\sqrt{2^n}}\left(\sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}}x-\sqrt{\frac{\hbar} {m \omega}}\frac{d}{dx}\right)^n \psi_0(x)$$

Donde al reemplazar $\psi_0(x)=(\frac{m \omega}{\pi \hbar})^4 e^{-\frac{1}{2}\frac{m \omega}{\hbar} x^2}$ obtenemos la fórmula de Rodrigues para polinomios de Hermite.

Valores medios y desviación cuadrática media

Al obtener la representación matricial de los operadores $X, P$ podemos ver claramente que $\langle \psi_n| X |\psi_n \rangle=\langle \psi_n| P |\psi_n \rangle=0$.

Por lo tanto, al aplicar la definición de varianza tenemos:

$(\Delta X)^2=\langle  X^2  \rangle- (\langle  X  \rangle)^2=\langle  X^2  \rangle$
$(\Delta P)^2=\langle  P^2  \rangle- (\langle  P  \rangle)^2=\langle  P^2  \rangle$

donde
$X^2=\frac{\hbar}{2m \omega}(a^{\dagger}+a)(a^{\dagger}+a)$
$P^2=-\frac{m \hbar \omega}{2 }(a^{\dagger}-a)(a^{\dagger}-a)$

En estas expresiones obtenemos términos $a^2$ y $(a^{\dagger})^2$ que no contribuyen a la diagonales y ya que $\langle  a^{\dagger}a+ aa^{\dagger} \rangle=\langle  2a^{\dagger}a+ 1 \rangle=2n+1$. Tendremos que:

$(\Delta X)^2=\langle  X^2  \rangle=(n+\frac{1}{2})\frac{\hbar}{m \omega}$

$(\Delta P)^2=\langle  P^2  \rangle=(n+\frac{1}{2})m \hbar  \omega$

Con $\Delta X \Delta P=(n+\frac{1}{2})\hbar$ para todos los autoestados, y en particular, este valor es mayor o igual a $\frac{\hbar}{2}$ en cada caso teniendo así la relación de indeterminación de Heisenberg.

Aplicaciones del oscilador armónico

Vibración de núcleos de moléculas diatómicas 

Dos núcleos forman un estado ligado al interactuar mediante fuerzas de Van der Waals. El potencial efectivo describe su comportamiento en función de la distancia entre ellos; para distancias muy pequeñas los núcleos se repelen fuertemente entre sí, hay un punto de potencial mínimo $r_e$ donde los núcleos tendrían un equilibrio estable si estos fueran partículas clásicas. La distancia entre los átomos puede aumentar hasta un punto donde se rompe el enlace y los núcleos dejan de interactuar entre sí.

Para zonas cercanas a $r_e$, es decir para vibraciones de amplitud pequeña, podemos modelar el potencial como una parábola. $V(r)=-V_0+\frac{1}{2}V''(r)(r-r_e)^2$ y tratar el problema como un cuerpo de masa reducida $m=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ que oscila alrededor de $r_e$. Tenemos entonces un oscilador armónico de frecuencia angular $\omega=\sqrt{\frac{V''(r_e)}{m}}$ y energía vibracional $E_ \nu=(\nu + \frac{1}{2})\hbar \omega -V_0$.

Las frecuencias de vibraciones moleculares suelen expresarse en $cm^{-1}$ que corresponde al inverso de la longitud de onda $\lambda$ de una onda electromagnética de frecuencia $\nu$.

Si asumimos que la molécula es heteropolar, es decir que está compuesta de átomos diferentes, tendremos que en general los electrones son atraídos hacia el átomo más negativo eléctricamente. Esto  genera un momento dipolar permanente $D(r)$ que se puede expandir alrededor de $r_e$ como $D(r)=d_0+d_1(r-r_e)+...$.

Cuando la molécula está en una superposición de estados vibracionales el valor medio del momento dipolar $\langle D(R) \rangle$ oscila alrededor de $d_0$. Esta vibración del momento dipolar resulta en un acoplamiento entre la molécula y el campo electromagnético,  por lo que la molécula puede absorber o emitir fotones de energía $h \nu$.

Espectro torsión de moléculas: Etileno 

Los átomos de una molécula de etileno se encuentra en un mismo plano. Al tratar de rotar un grupo $CH_2$ alrededor del eje $C-C$ se forma un potencial $V(\alpha)$ donde $\alpha$ es el ángulo de rotación. $\alpha=0$ corresponde a un mínimo de potencial, y $\alpha=n\pi$ tambíen corresponde a un mínimo de potencial ya que debido a la simetría de la molécula estos casos son indistinguibles.

El potencial estará dado por $V(\alpha)=\frac{V_0}{2}(1-cos 2\alpha)$. Esto puede ser aproximado como un parábola alrededor de cada mínimo de potencial. Al estudiar esta situación se obtiene un oscilador armónico con respecto a $\alpha$, de frecuencia angular $\omega=\sqrt{\frac{V_0}{I}}$ donde $I$ es el momento de inercia del grupo $CH_2$ alrededor del eje $C-C$.

Debemos tener en cuenta los efectos cuánticos, ya que un "estado torsional" alrededor de un mínimo de potencial puede llegar a saltar a otro mínimo por efecto túnel.

Átomo muónico pesado

El muon ($\mu$) es una partícula con la misma carga que un electrón pero de masa 207 veces mayor. En ocasiones un muon puede ser atraído por la fuerza coulombiana de un núcleo y formar un sistema ligado conocido como átomo muónico.

Por el modelo de Bohr tenemos que la energía y el radio orbital del muon es:

$E_n=\frac{-Z^2me^4}{2\hbar^2}\frac{1}{n^2}$

$r_n=\frac{n^2 \hbar^2}{Z m e^2}$

Que para un átomo pesado como el plomo (Z=82,A=207) toma valores de $E_1=-19MeV, E_2=-4.7MeV$, $r_1=3*10^{-13}cm, r_2=12*10^{-13}cm$.

Pero para estas expresiones se tomaba el núcleo como puntual respecto a la distancia entre este y la partícula que lo "orbitaba", pero esto no es válido para este átomo muónico pesado pues tiene un radio nuclear $\rho_0$ del orden de $8.5*10^{-13}cm$. Para $r_1$ la función de onda del muón llega incluso a estar dentro del núcleo. Debemos entonces dividir el problema.

Para una distancia entre el muón y el centro del núcleo $r>\rho_0$ la energía potencia está dada por:

$V(r)=-\frac{Ze^2}{r}$

Para $r<\rho_0$ tomamos el núcleo como una esfera cargada uniformemente, por lo que usando el teorema de Gauss tenemos una energía potencial:

$V(r)=\frac{1}{2}\frac{Z e^2}{\rho_0^3}r^2-\frac{3}{2}\frac{Ze^2}{\rho_0}$

Vemos que para distancias pequeñas al centro del núcleo y en específico para $r_1$ el potencial tiene forma parabólica, por lo que tendríamos un oscilador armónico tridimensional de frecuencia $\omega=\sqrt{\frac{Ze^2}{m_{\mu}\rho^3}}$.

Oscilación armónica de partícula carga en campo eléctrico 

Por último discutimos como cambia el comportamiento de una partícula cargada oscilando armónicamente al someterla a un campo eléctrico constante $E=E_0 \hat x$.

Este campo tiene un potencial asociado $\phi=E_0x$ y un potencial $U=q E_0 x $, al sumar este término con el potencial de un movimiento armónico simple tendremos un nuevo potencial $V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2 x^2+ qE_0 x$ donde se pueden completar cuadrados para obtener un sistema cuyos niveles de energía permitidos serán:

$E_n=(n+\frac{1}{2})\hbar \omega-\frac{q^2 E_0^2}{2 m \omega^2}$

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Para entender mejor las aplicaciones, veamos los siguientes videos:

Oscilación de una partícula cargada en un campo eléctrico: https://www.youtube.com/watch?v=AJxfDEsIUD0

Vibración de núcleos de moléculas: https://www.youtube.com/watch?v=dK-tP0Pwv9E

Torsión de moléculas: https://www.youtube.com/watch?v=snTqtYxnCok

Editado por: Michelle Mora

Editado por: Waira M