Clase 18. Continuación Postulados de la mecánica cuántica

    Capítulo 3. B-3 de Cohen- Tannoudji.

Recordando el tercer postulado que dice: El resultado de una medida física de la cantidad A solo puede ser un autovalor a_n del observable A.

Sin embargo, un sistema físico puede estar en una combinación lineal de autovectores

$|\Psi$⟩= $\sum_{k} C_{k}$ $|u_{k}$⟩

 

Dado que A es un observable, el conjunto de $|u_{k}$⟩, que consideraremos normalizado, constituye una base en $\varepsilon $, donde es claro que al cambiar de base el vector particular cambia. Entonces, al hacer una medida de A se obtendrá un a_n no necesariamente igual en cada observación, relacionado con el observable, ya que la condición es que sea alguno de los autovalores, mas no uno en particular. 

Así pues, es necesario ver como se conecta el estado físico |ψ⟩ con el resultado de cada medida individual. Para esto es necesario introducir el cuarto postulado:

Cuarto postulado: Cuando la cantidad física A es medida en un sistema en el estado $|\Psi$⟩ normalizado, la propabilidad P(a_n) de obtener el autovalor del observable correspondiente A es:

$P(a_{n})=$ |⟨$u_{n}$|ψ⟩| $^{2}$ 

Dónde | $u_{n}$⟩ es el autovector normalizado de A con autovalor $a_{n}$

Como ejemplo se da:

|ψ⟩ = $\frac{i}{2}$ |$u_{1}$⟩ + $\frac{i}{4}$|$u_{3}$⟩ + x|$u_{5}$⟩

Se sabe que por la condición de normalización |⟨ψ|ψ⟩| = 1, por lo que.
⟨$u_{1}$| -$\frac{i}{2}$ $\frac{i}{2}$| $u_{1}$⟩ + ⟨$u_{3}$| -$\frac{i}{4}$ $\frac{i}{4}$ |$u_{3}$⟩ + ⟨$u_{5}$| $\bar{x}$ $x$ |$u_{5}$⟩ = 1

Dando como resultado |x| = $\frac{\sqrt{11}}{4}$, así pues:

 |ψ⟩ = $\frac{i}{2}$ |$u_{1}$⟩ + $\frac{i}{4}$|$u_{3}$⟩ + $\frac{\sqrt{11}}{4}$  |$u_{5}$⟩

Al tomar la medida física de A se puede obtener uno de los posibles autovalores

A| $u_{k}$⟩  =  $a_{k}$| $u_{k}$⟩, sin embargo, de acuerdo al cuarto postulado, la probabilidad de obtener un determinado  $a_{k}$ (por ejemplo $a_{7}$ ) está asociado con el coeficiente con el que $u_{7}$ está representado en el vector de estado ψ, pero en este vector de estado el coeficiente es cero, por lo que no se puede obtener $a_{k}$ en las medidas que se hagan. En otras palabras, la probabilidad de obtener los $a_{1}$, $a_{3}$ y $a_{5}$ son diferentes de cero mientras que todas las demás son cero, ya que un estado físico no tiene por qué estar en todos los estados posibles. Por ejemplo:

$P(a_{1})=$ |⟨$u_{1}$|ψ⟩|$^{2}$ = |⟨$u_{1}$| $\frac{-i}{2}$$\frac{i}{2}$| $u_{1}$⟩|$^{2}$ = $\frac{1}{4}$

$P(a_{7})=$ |⟨$u_{7}$|ψ⟩|$^{2}$ = 0

La probabilidad, en general de:

$P(a_{l})$ = $\sum_{l}$ |⟨$u_{l}$|ψ⟩| $^{2}$ = $\sum_{l}$ |⟨$u_{l}$|$\sum_{k} C_{k}$ $|u_{k}$⟩| $^{2}$ =  $\sum_{l}$ |$C_{l}$| $^{2}$

Lo anterior, suponiendo que no hay degeneración. Así pues, no se puede concluir con una observación que la medida de A es $a_{n}$, se debe hacer infinitas medidas para obtener información confiable del estado del sistema |ψ⟩.

Caso degenerado:

En el caso degenerado se tienen n autovectores linealmente independientes del observable A con el mismo autovalor $a_j$, así:

A| $u_{j}^{k}$⟩  =  $a_{kj}$| $u_{j}^{k}$⟩ 

con $k=1,2,....,n$: degeneración del autovalor.

Entonces:

$|\Psi$⟩= $\sum_{n} \sum_{k = 1}^{n} C_{n}^{k}$ $|u_{n}^{k}$⟩

$P(a_{n})$ = $\sum_{k =1}^{n}$ |$C_{n}^{k}$| $^{2}$ = $\sum_{k =1}^{n}$ |⟨$u_{n}^{k}$|ψ⟩| $^{2}$

Si $a_{n}$ es el resultado de medir A entonces puede deberse a que cualquiera de los n autoestados asociados con $a_{n}$ está presente en la combinación lineal que describe el sistema |ψ⟩

Ejemplo:

|ψ⟩ es tal que al tomar una medida se obtiene $a_{1}$ de A , sin embargo $a_{1}$ tiene degeneración 2 con autoestados |$u_{1}^{1}$⟩, |$u_{1}^{-1}$⟩,  entonces ¿Cuál de los autoestados asociados con $a_1$ está presente en |ψ⟩?  La respuesta es que no se puede saber ya que puede ser cualquiera de los dos. Además, los dos autoestados pueden tener diferente probabilidad de manera de que los coeficientes que los acompañan sean diferentes; la degeneración entonces introduce esta nueva ambigüedad e incerteza.

Ahora, si se supone

 |ψ⟩ = $c_{0}$ |$u_{1}$⟩ + $c_{1}$|$u_{1}^{1}$⟩ + $c_{2}^{1}$  |$u_{2}^{1}$⟩ + $c_{2}^{2}$  |$u_{2}^{2}$⟩

Al medir A, entonces, se puede obtener $a_{0}$, $a_{1}$ o $a_{2}$. 

Como 

$P(a_{n})$ = $\sum_{k =1}^{n}$ |$C_{n}^{k}$| $^{2}$

entonces la probabilidad de $a_{0}$ es como en el caso de no degeneración, sin embargo si se obtuvo $a_{1}$ se pudo haber obtenido |$u_{1}^{-1}$⟩ o |$u_{1}^{1}$⟩, pero como, según  |ψ⟩, $C_{1}^{-1}=0$, entonces $P(a_1)$ = |$C_{1}^{1}$| $^{2}$

Caso continuo no degenerado:

Ahora supongamos que el espectro de A es continuo y, en aras de la simplicidad, no degenerado. El sistema, ortonormal en el sentido extendido, de vectores propios |$v_{\alpha}$⟩ de A: A| $v_{\alpha}$⟩  =  $\alpha$| $v_{\alpha}$⟩ forma una base continua en $\varepsilon $, expandiendo entonces  |ψ⟩:

 |ψ⟩ = $\int d\alpha c(\alpha)$ |$v_{\alpha}$⟩ 

Así pues, el resultado de la medida de la cantidad A puede ser definida como una densidad de probabilidad y la probabilidad de obtener $dP(\alpha)$ de obtener valores entre $\alpha$ y  $\alpha + d\alpha$ está dado por:

$dP(\alpha)$ = $\rho (\alpha)d\alpha$ con $\rho (\alpha)$ = $|c(\alpha)|^{2}$ =  |⟨$v_{\alpha}$|ψ⟩| $^{2}$

entonces

$P(\alpha)$ =  $\int d\alpha$  |⟨$v_{\alpha}$|ψ⟩| $^{2}$

Editado por: Paula Manuela Leguizamón.