Clase 12: Espacio de funciones, Espacio de estado y notación de Dirac

Espacio de funciones ($ \mathscr{F}$)

 En la anterior clase se vio que las ondas planas definidas por $v_p$ constituyen una base continua pero estas no describen un estado físico (por lo tanto no pertenece al espacio de funciones $\mathscr{F}$ ), dado que las ondas nunca son completamente planas o monocromáticas. Donde el subíndice $p$ es continuo.

Ahora veremos otra base continua con las mismas características de $v_p$, la cual llamaremos "Funciones Delta de Dirac", definida como:

$$\xi_{\vec{r}_0}(\vec{r})=\delta(\vec{r}-\vec{r}_0)$$

Donde es el índice continuo de cada elemento, cabe notar que al igual que $v_p$ se cumple que $\xi_{\vec{r}_0}(\vec{r})\notin \mathscr{F}$, pero nos permite expresar los elementos de $\mathscr{F}$ en función de los elementos de $\xi_{\vec{r}_0}(\vec{r})$

Pero se cumplen las siguientes relaciones para toda función $\psi$ que si pertenezca a  $\mathscr{F}$

$$\psi(\vec{r})=\int \mathrm{d}^3\vec{r}_0 \psi(\vec{r}_0) \delta(\vec{r}-\vec{r}_0)$$

$$\psi(\vec{r}_0)=\int \mathrm{d}^3\vec{r} \psi(\vec{r}) \delta(\vec{r}-\vec{r}_0)$$

Y usando la definición

$$\psi(\vec{r})=\int \mathrm{d}^3\vec{r}_0 \psi(\vec{r}_0) \xi_{\vec{r}_0}(\vec{r})$$

Donde podemos recurrir a las siguientes relaciones:

$\psi(\vec{r})$ Como el vector.

$\int$ Como la combinación lineal

$\psi(\vec{r}_0)$ Como los coeficientes

$\xi_{\vec{r}_0}(\vec{r})$ Como la base

Es decir:

$$\int \rightarrow \sum $$

$$\vec{r}_0 \rightarrow i$$

$$\psi(\vec{r}_0 ) \rightarrow c_i$$ 

Donde tenemos la relación de cierre o completex y de ortonormalización estan dadas por:

$$\int \mathrm{d}^3\vec{r}_0 \xi_{\vec{r}_0}(\vec{r}) \xi_{\vec{r}_0}^\ast(\vec{r}^\prime)=\int \mathrm{d}^3\vec{r}_0 \delta(\vec{r}-\vec{r}_0) \delta(\vec{r}^\prime-\vec{r}_0)=\delta(\vec{r}-\vec{r}^{\prime})$$ 

$$(\xi_{\vec{r}_0}(\vec{r}),\xi_{\vec{r}^{\prime}_0}(\vec{r}))=\delta(\vec{r}_0-\vec{r}^{\prime}_0)$$

Al final vemos que tenemos 2 bases continuas: $v_p$ y $(\xi_{\vec{r}_0}(\vec{r})$ que no pertenecen al espacio de funciones pero que nos permiten expresar los elementos de dicho espacio en función de ellas.

Notación de Dirac

No siempre los sistemas físicos se pueden describir con elementos del espacio de funciones, entonces se cumple la siguiente relación: 

$$\psi(\vec{r}) \in \mathscr{F} \Leftrightarrow |\psi \rangle \in \mathcal{E}$$

Donde un vector del espacio $\mathcal{E}$ es llamado un vector ket o simplemente ket; representado por $|\quad\rangle$, donde ponemos el vector en el centro para distinguir los elementos, como lo vemos con la función $\psi(\vec{r})$ representada en el espacio $\mathcal{E}$ como  $|\psi \rangle(\vec{r})$ o simplemente $|\psi \rangle$

Espacio de estado ($\mathcal{E}$) 

El espacio de estado $\mathcal{E}$ es un espacio vectorial, cuya notación será la dada por la notación de Dirac, con producto vectorial:

$$(\varphi,\psi) \rightarrow (|\varphi \rangle,|\psi \rangle)=\int \mathrm{d}x \quad\varphi^{\ast}(x)\psi(x)$$

Espacio vectorial dual ($\mathcal{E}^\ast$)

Sea $|\psi \rangle \in \mathcal{E}$, dado un funcional lineal $\beta$ es un operador lineal que le asocia un número $\lambda$ $(\lambda \in \mathbb{C})$, tal que:

$$\beta(|\psi \rangle)=\lambda$$

Y verificando linealidad:

$$\beta(\lambda_1 |\psi_1 \rangle+\lambda_2 |\psi_2 \rangle)=\lambda_1(\beta |\psi_1 \rangle)+\lambda_2(\beta |\psi_2 \rangle)$$

$\beta$ tiene operación suma y multiplicación por escalar, entonces define un nuevo espacio vectorial, el cual llamamos el espacio dual de $\mathcal{E}$, denotado como $\mathcal{E}^{\ast}$

Ejemplo:

Sea $\vec{r}=(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$, definimos $\beta$ como $\beta(\vec{r})=x$, entonces $\beta \in  \mathbb{R}^{3\ast}$

Bases del espacio vectorial dual

La base de  $\mathcal{E}^{\ast}$ se construyen usando la base ya conocida de  $\mathcal{E}$.. Entonces se tendrá por defnición:

$$\beta(|\psi \rangle)\equiv \langle\beta|\psi\rangle$$

Donde usando la notación de Dirac, tenemos que $\beta \rightarrow \langle\beta|$ donde un vector del espacio $\mathcal{E}^{\ast}$ es conocido como vector bra o simplemente bra representado de la forma anterior.

Notar que se tienen ahora dos relaciones:

$\mathcal{E}^{\ast}\rightarrow \langle\beta|$; corresponde al bra

$\mathcal{E}\rightarrow |\psi\rangle$; corresponde al ket

Si se unen (braket) se tiene: $ \langle\beta|\psi\rangle \in \mathbb{C}$

Correspondencia entre kets y bras

A cada ket se le asocia un bra de la forma:

$$ \varphi|\psi\rangle \equiv (|\varphi\rangle,|\psi\rangle) \in \mathbb{C} $$

Hace que los espacios vectoriales  $\mathcal{E}$ y  $\mathcal{E}^{\ast}$ sean isomorfos

$$ \mathcal{E}\cong \mathcal{E}^{\ast}$$

Aqui no hay necesidad de buscar la operacion  asociada a los bras, sino que nos fijamos en los elementos de $\mathcal{E}$ y los relacionamos a $\mathcal{E}^{\ast}$ con un mapa uno a uno

Ademas se nota que la correspondencia en los bra es antilineal y en los kets es lineal, es decir: 

Sea $\lambda \in \mathbb{C}$ y $|\psi\rangle \in  \mathcal{E} $ un ket

$$|\lambda\psi\rangle=\lambda|\psi\rangle$$

Y sea $\lambda \in \mathbb{C}$ y  $\langle\psi| \in \mathcal{E}^{\ast}$ un bra asociado al ket $|\psi\rangle$

$$\langle\lambda\psi|=\lambda^{\ast}\langle\psi|$$

Producto escalar

Usando la notación de Dirac el producto escalar $\mathcal{E}^{\ast}\times \mathcal{E}\rightarrow \mathbb{C}$ lo denotamos como: $\langle\psi|\times |\varphi\rangle \Rightarrow \langle\psi|\varphi\rangle$, donde se cumple la propiedad:

$$\langle\psi|\varphi\rangle=\langle\varphi|\psi\rangle^{\ast}$$

Correspondencia de bases

Vimos que $v_p(\vec{r})$ es una base de $\mathscr{F}$ que no pertenece a $\mathscr{F}$, luego no tiene un ket efectivamente, es decir $|v_p\rangle \notin \mathcal{E} $ pero $\langle v_p|\in \mathcal{E}^{\ast}$

Sin embargo tenemos que:

$$\langle\psi|v_p\rangle \in \mathbb{C}$$

$$\langle v_p|\psi\rangle \in \mathbb{C}$$

Veamos el segundo término:

$$\langle v_p|\psi\rangle =(|v_p\rangle,|\psi\rangle)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int \mathrm{d}x v_p^{\ast}(x)\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int \mathrm{d}x\psi(x)e^{-ipx/\hbar}$$

Donde vemos que el último termino corresponde a una transformada de Fourier de $\psi$ (F:T.($\psi$))

Al final si se usará y se dará como válida a $|v_p\rangle$, pero sabemos que esta no describe un estado físico.

Operadores lineales en $\mathcal{E}$

Sea $\hat{A}$ un operador lineal, este asocia a un ket $|\psi\rangle$ otro ket $|\psi^{\prime}\rangle$, ambos pertenecientes a $\mathcal{E}$, es decir:

$$|\psi^{\prime}\rangle=\hat{A}|\psi\rangle$$

Y como $\hat{A}$ es un operador lineal:

$$\hat{A}(\lambda |\psi_1\rangle + |\psi_2\rangle)=\lambda \hat{A}|\psi_1\rangle+\hat{A}|\psi_2\rangle$$

El producto de dos operadores $\hat{A}$ y $\hat{B}$, se define como:

$$(\hat{A}\hat{B})|\psi\rangle=\hat{A}(\hat{B}|\psi\rangle)$$

Vemos que primero actua  $\hat{B}$ y luego  $\hat{A}$.

En general  $\hat{A} \hat{B}\neq \hat{B} \hat{A}$, por tanto definimos el conmutador como:

$$=[\hat{A} ,\hat{B}]=\hat{A} \hat{B}-\hat{B} \hat{A}$$

Sean dos kets $|\psi\rangle$ y $|\varphi\rangle$, definimos el escalar:

$$\langle\varphi|(\hat{A}|\psi\rangle)=\langle\varphi|\psi^{\prime}\rangle\in \mathbb{C}$$

Proyectores

Ejemplo:

Tomemos $\mathbb{R}^3$ de manera que:

$\hat{i}\rightarrow |x\rangle $

$\hat{j}\rightarrow |y\rangle$

$\hat{k}\rightarrow |z\rangle$

Tenemos que se cumples las relaciones:

$\langle x|y\rangle=\delta_{xy}=0$

$\langle x|x\rangle=\delta_{xx}=1$

Un proyector es un operador de la forma:

$$|y\rangle\langle x|=\mathbb{A}$$

Sea $\vec{r}=a|x\rangle+b|y\rangle+c|z\rangle$

$$\mathbb{A}\vec{r}=|y\rangle\langle x|(a|x\rangle+b|y\rangle+c|z\rangle)=|y\rangle (a\langle x|x\rangle+b\langle x|y\rangle+c\langle x|z\rangle)=|y\rangle (a\langle x|x\rangle)=a|y\rangle $$

Vemos que $\mathbb{A}\rightarrow \vec{r}$: Escoge la proyección de $\vec{r}$ en dirección $\hat{i}$ y la lleva a la dirección $\hat{j}$

Definamos otro operador como: $mathbb{B}=|x\rangle\langle x|+|y\rangle\langle y|$

Observar que si se aplica al vector $\vec{r}$ de la misma manera anterior, se tiene:

$\mathbb{B}\vec{r}=a|x\rangle+b|y\rangle$

Notar que para este proyector  $\mathbb{B}$, se tiene:

$$\mathbb{B}^2=\mathbb{B}\mathbb{B}=(|x\rangle\langle x|+|y\rangle\langle y|)(|x\rangle\langle x|+|y\rangle\langle y|)=|x\rangle\langle x|+|y\rangle\langle y|=\mathbb{B}$$

Ahora proyectores en $\mathcal{E}$

De forma general tenemos un proyector $\Pi$, definido como:

$\Pi\equiv |\psi\rangle\langle \varphi|$

tal que: 

$\Pi: \mathcal{E}\rightarrow \mathcal{E}$

$|\chi\rangle \rightarrow |\psi\rangle \langle \varphi|\chi\rangle=\lambda|\psi\rangle$

Con $  \langle\varphi|\chi\rangle=\lambda\in\mathbb{C}$

Definimos el proyector:

$$\Pi_{\psi}\equiv  |\psi\rangle\langle \psi|$$

Aplicado a un estado $|\varphi\rangle$:

$$\Pi_{\psi}|\varphi\rangle=|\psi\rangle\langle \psi|\varphi\rangle=\alpha |\psi\rangle$$

Con $\alpha \in\mathbb{C}$

Se puede comprobar fácilmente que:

$$\Pi_{\psi}^2=\Pi_{\psi}$$

Relaciones importantes vistas en el taller

El orden de los operadores es muy importantes, solo los escalares pueden moverse sin ningún problema, sea $|\psi\rangle$ un ket, sean $\langle\psi|$ y $\langle\varphi|$ bras, sea $\lambda \in \mathbb{C}$ y por último sea $hat{A}$ un operador lineal.

1. $|\psi\rangle \lambda = \lambda |\psi\rangle $
2. $\langle\psi| \lambda = \lambda \langle\psi| $
3. $\hat{A}\lambda |\psi\rangle =\lambda \hat{A}|\psi\rangle$
4. $\langle\varphi|\lambda |\psi\rangle = \lambda \langle\varphi|\psi\rangle = \langle\varphi |\psi\rangle \lambda $

Más sobre proyectores

Sea el conjunto de $|\varphi_i\rangle$ una base completa y ortonormal, con $i=1,...,l$

Definimos un operador lineal de la forma:

$$P_l=\sum_{i=1}^l |\varphi_i\rangle \langle\varphi_i|=|\varphi_1\rangle \langle\varphi_1|+...+|\varphi_l\rangle \langle\varphi_l|$$

Sea $|\psi\rangle=\sum_{j=1}^\infty C_j |\varphi_j\rangle$

$$P_l|\psi\rangle=\sum_{j=1}^\infty C_j\sum_{i=1}^l |\varphi_i\rangle \langle\varphi_i|\varphi_j\rangle=\sum_{j=1}^\infty C_j\sum_{i=1}^l \delta_{ij} |\varphi_i\rangle=\sum_{j=1}^l C_j |\varphi_j\rangle$$

Notar que $P_l^2=P_l$

Operador adjunto

El operador adjunto de un operador lineal $\hat{A}$ se define por medio de la relación:

$$|\psi^{\prime}\rangle=\hat{A}|\psi\rangle \Longleftrightarrow \langle \psi^{\prime}|=\langle \psi|\hat{A}^{\dagger}$$

De la definición anterior se puede llegar a la siguiente relación, que es la usual:

$$\langle \psi|\hat{A}^{\dagger}|\varphi\rangle=\langle \varphi|\hat{A}|\psi\rangle^{\ast}$$ 

Propiedades del operador adjunto

Sea $\hat{A}$ y $\hat{B}$ operadores y sea $\lambda \in \mathbb{C}$, tenemos las siguientes propiedades:

1. $(\hat{A}^{\dagger})^{\dagger}=\hat{A}$
2. $(\lambda \hat{A})^{\dagger}=\lambda^{\ast}\hat{A}^{\dagger}$ 
3. $(\hat{A}+\hat{B})^{\dagger}=\hat{A}^{\dagger}+\hat{B}^{\dagger}$
4. $(\hat{A}\hat{B})^{\dagger}=\hat{B}^{\dagger}\hat{A}^{\dagger}$

Referencias 

•  Cohen-Tannoudji C., Diu B., Laloe F. (1973) Vol. 1: Quantum Mechanics.